Seja uma série temporal em que é uma variável aleatória discreta assumindo valores com igual probabilidade . É facilmente verificado que e
e, portanto, o processo é fracamente estacionário. Obviamente, também não é estritamente estacionário, pois e ,{Xn:n∈Z}Xncos(n),sin(n),−cos(n),−sin(n)14E[Xn]=0E[XmXm+n]=14[cos(m)cos(m+n)+sin(m)sin(m+n)= +(−cos(m))(−cos(m+n))+(−sin(m))(−sin(m+n))]=12[cos(m)cos(m+n)+sin(m)sin(m+n)]=12cos(n)
X0X0Xnn≠0assuma valores diferentes e, portanto, as distribuições de e são diferentes em vez de serem as mesmas necessárias (juntamente com muitos outros requisitos) para uma estacionariedade estrita.XnXm
Para o processo fracamente estacionário descrito acima, o processo não está fracamente estacionário porque
não é uma constante necessária para uma estacionariedade fraca (embora seja verdade que a função de autocorrelação seja um função de sozinho).{|Xn|:n∈Z}E[|Xn|]=12[cos(n)+sin(n)]E[|Xm|⋅|Xm+n|]n
Por outro lado, como observado por @bananach em um comentário sobre a questão principal, se a estacionariedade é interpretada como estacionariedade estrita , então a estacionariedade estrita de implica que também é um processo estritamente estacionário. Processos estritamente estacionários com variação finita também são processos fracamente estacionários e, portanto, para esta subclasse, é verdade que estacionariedade fraca de implica estacionariedade fraca de . Mas, como descrito na primeira parte desta resposta, nem sempre se pode concluir que estacionariedade fraca de{Xn:n∈Z}{|Xn|:n∈Z}{Xn:n∈Z}{|Xn|:n∈Z}{Xn:n∈Z}implica estacionariedade fraca de .{|Xn|:n∈Z}