Se eu tenho uma probabilidade conhecida de um evento ocorrer, 1% de chance, e preciso que o evento ocorra várias vezes, 120 vezes, sobre quantas vezes eu precisaria repetir o evento antes que eu possa esperar que esse número aconteça vezes?
Se eu tenho uma probabilidade conhecida de um evento ocorrer, 1% de chance, e preciso que o evento ocorra várias vezes, 120 vezes, sobre quantas vezes eu precisaria repetir o evento antes que eu possa esperar que esse número aconteça vezes?
Respostas:
Considere uma sequência de ensaios independentes com probabilidade de sucesso . Seja o número de sucessos dos ensaios. Então tem uma distribuição binomial com os parâmetros e . O valor esperado de um binômio rv é . Uma abordagem simples é definir igual a e resolver para . Como , temos que significa que espera-se que os ensaios obtenham sucessos.
Como alternativa, aqui está uma abordagem relacionada que fornece o número de tentativas necessárias para observar sucessos com alguma probabilidade (ie )
Considere uma sequência de ensaios independentes com probabilidade de sucesso . Deixei ser o número de tentativas necessárias para observar sucessos. Entãotem uma distribuição binomial negativa com parâmetros e . No seu caso,e você deseja encontrar de tal modo que
Embora a distribuição binomial negativa não tenha função quantílica de forma fechada, essa pode ser resolvido facilmente. Por exemplo, a resposta pode ser obtido em I por tipagem: qnbinom(.95, 120, .01)
. A resposta indica que ensaios são necessários para ter uma chance de 95% de observar (ou mais) sucessos.
qnbinom(.5556, 120, .01)
aqui: rextester.com/l/r_online_compiler
Primeiro, vou assumir que os experimentos são independentes, pois você disse que provavelmente o sucesso é sempre de 1%. A palavra-chave na sua pergunta é "esperada", o que significa que procuraremos um valor médio ou esperado .
Se você estiver interessado no número de tentativas (com probabilidade comum de sucesso ), necessário para obter sucessos, você pode modelar isso como uma variável aleatória binomial negativa com função de massa de probabilidade:
para
O valor esperado do binômio negativo é conhecido como:
No seu caso, e . Portanto, o número esperado de ensaios independentes de seu experimento (vezes) necessários para obter sucessos é simplesmente dado por
Como outros observaram, a chance de suceder tempos suficientes seguirá uma distribuição binomial negativa. É útil plotar isso, e você pode fazer isso em R com:
plot(function(x) pnbinom(x,120,0.01),120,20000)
Que dá:
Como você pode ver, ele tem uma forma sigmoidal e existem grandes áreas com praticamente nenhuma chance e quase certeza e uma rápida mudança entre as duas próximas ao valor esperado. Portanto, aumentar o número de tentativas pode ter pouco efeito ou um efeito muito grande na chance de atingir a meta, dependendo de quantas você já decidiu.
Se você dimensionar essa função pelo número de trilhas (ou seja, chance média por tentativa), poderá ver que há um valor máximo claro,
plot(function(x) pnbinom(x,120,0.01)/x,120,20000)
com o qual você pode se identificar:
optimise(function(x) pnbinom(x,120,0.01)/x,c(120,20000),maximum=TRUE)
$maximum
[1] 13888
$objective
[1] 6.929301e-05
Como diz Knrumsey, o número de sucessos seguirá uma distribuição binomial, mas, a menos que você precise de um alto nível de precisão, 1% é um número suficientemente pequeno para que você possa usar a aproximação de uma distribuição Poisson com