O posterior segue necessariamente a mesma estrutura de dependência condicional do anterior?

Uma das suposições em um modelo é a dependência condicional entre variáveis ​​aleatórias na distribuição anterior conjunta. Considere o seguinte modelo,

$$p(a,b|X) \propto p(X|a,b)p(a,b)$$

Agora suponha uma suposição de independência para o anterior .$p(a,b) = p(a)p(b)$

Essa suposição implica que o posterior também possui a seguinte dependência condicional?

$$p(a|X)p(b|X) \propto p(X|a,b)p(a)p(b)$$

Sua pergunta também pode ser declarada como: " depende de e . E e são independentes. Isso implica que e são condicionalmente independentes, dado ?"$X$$a$$b$$a$$b$$a$$b$$X$

A resposta é não. Só precisamos de um contra-exemplo para mostrar que não é o caso. Suponha que .$X = a + b$

Então, uma vez que sabemos value 's, e são dependentes (informações sobre um nos diz o que o outro vai ser). Por exemplo, suponha . Então, se , diz-nos que . Da mesma forma, se , indica .$X$$a$$b$$X=5$$a=3$$b=2$$b=4$$a=1$

Não, não é: sob a suposição de que , o lado direito da sua última equação é:$a \ \bot \ b$

$$p(x|a,b) \cdot p(a) \cdot p(b) = p(x,a,b) \overset{a,b}{\propto} p(a,b|x).$$

Assim, você está efetivamente perguntando se deve ou não:

$$a \ \bot \ b \quad \quad \implies \quad \quad p(a|x) \cdot p(b|x) \propto p(a,b|x).$$

Ou seja, você está perguntando se a independência antes de e implica independência posterior dessas variáveis aleatórias. De um modo geral, não, não - muitos modelos estatísticos envolvem dados que fornecem informações sobre as duas variáveis ​​anteriores, de maneira que exibam dependência estatística a posteriori .$a$$b$$x$