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Estou confuso. Eu não entendo a diferença de um processo ARMA e GARCH .. para mim há o mesmo não?

Aqui está o processo (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

E aqui está o ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

O ARMA é simplesmente uma extensão do GARCH, GARCH sendo usado apenas para retornos e com a suposição que segue um forte processo branco? $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— John
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1

Além da resposta da fg nu, o processo de variação no GARCH varia no tempo. No entanto, há um truque aqui é que, dada uma série temporal de retorno de log do SP500, para obter o processo de volatilidade, o que devemos fazer? Algumas pessoas dizem que precisamos usar o modelo ARMA para retirar as séries residuais e depois conectá-las ao modelo GARCH para obter o processo de variação condicional. Ou conecte diretamente o retorno de log, conecte o processo de retorno de log do SP500 ao modelo GARCH para obter a variação condicional?

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Você está confundindo os recursos de um processo com sua representação. Considere o processo (de retorno) . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Um modelo ARMA (p, q) especifica a média condicional do processo como

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ Aqui, é a informação definida no tempo , que é a álgebra gerada pelos valores defasados do processo de resultado .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

O modelo GARCH (r, s) especifica a variação condicional do processo $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Observe em particular a primeira equivalência . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

Além : Com base nessa representação, você pode escrever onde é um processo forte de ruído branco, mas isso decorre da maneira como o processo é definido.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

Os dois modelos (para a média condicional e a variação) são perfeitamente compatíveis entre si, na medida em que a média do processo pode ser modelada como ARMA e as variações como GARCH. Isso leva à especificação completa de um modelo ARMA (p, q) -GARCH (r, s) para o processo, como na representação a seguir $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— tchakravarty
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Você não deveria estar condicionando as informações no tempo se todos os regressores estiverem atrasados?

t - 1

$t-1$

— Jase

@Jase Observe a definição: "Aqui, é a informação definida no tempo , que é a álgebra gerada pelos valores defasados do processo de resultado ". Ou seja, . Alguns autores escrevem isso como mas isso é contrário à noção de uma informação definida no tempo .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— Tchakravarty

Agradável! Você sabe por que usamos a álgebra sigma e não uma filtragem?

— Jase

1

@Jase, a sequência de conjuntos de informações constitui uma filtragem .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— Tchakravarty

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Editar: percebi que a resposta estava faltando e, portanto, forneci uma resposta mais precisa (veja abaixo - ou talvez acima). Eu editei este por erros factuais e estou deixando para o registro.

Parâmetros de foco diferentes:

ARMA é um modelo para a realização de um processo estocástico que impõe uma estrutura específica da média condicional do processo.
GARCH é um modelo para a realização de um processo estocástico que impõe uma estrutura específica da variação condicional do processo.

~~Modelo estocástico versus determinístico:~~

ARMA é um modelo estocástico no sentido de que a variável dependente - as realizações do processo estocástico - é especificada como uma soma de uma função determinística da variável dependente com atraso e erro do modelo com atraso (a média condicional) e um termo de erro estocástico.
~~GARCH é um modelo determinístico no sentido de que a variável dependente - a variação condicional do processo - é uma função puramente determinística das variáveis atrasadas.~~

— Richard Hardy
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1

A variação condicional do processo GARCH é determinística no sentido definido, mas o processo GARCH não é, uma vez que e são independentes de defasagens de .

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— Mvctas

1

@mpiktas, True. Se o modelo GARCH contiver duas equações, uma para média condicional (um exemplo do qual você escreveu acima) e outra para variação condicional (que é intuitivamente, embora não matematicamente, "a principal equação" do modelo), meu argumento se aplica apenas para a última equação.

— Richard Hardy

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ARMA

Considere que segue um processo ARMA ( ). Suponha, por simplicidade, que tenha média zero e variação constante. Condicionalmente nas informações , pode ser particionado em uma parte conhecida (predeterminada) (que é a média condicional de dada ) e uma parte aleatória : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

onde é alguma densidade. $D$

A média condicional segue um processo semelhante ao ARMA ( ), mas sem o termo de erro contemporâneo aleatório: que ; para ; e para . Observe que esse processo tem ordem ( ) em vez de ( ), como . $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

Também podemos escrever a distribuição condicional de em termos de suas médias condicionais passadas (em vez de valores realizados passados) e parâmetros de modelo como $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Esta última representação facilita a comparação entre ARMA e GARCH e ARMA-GARCH.

GARCH

Considere que segue um processo GARCH ( ). Suponha, por simplicidade, que tenha média constante. Então $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

onde e é alguma densidade. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

A variância condicional segue um processo semelhante ao ARMA ( ), mas sem o termo de erro contemporâneo aleatório. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

Considere que possui zero médio incondicional e segue um processo ARMA ( ) -GARCH ( ). Então $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

onde ; é alguma densidade, por exemplo, Normal; para ; e para . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

O processo de média condicional devido ao ARMA tem essencialmente a mesma forma que o processo de variação condicional devido a GARCH, apenas as ordens de atraso podem diferir (permitindo uma média incondicional diferente de zero de não deve alterar esse resultado significativamente). É importante ressaltar que nenhum dos termos de erro aleatório já foi condicionado em ; portanto, ambos são predeterminados. $y_t$ $I_{t-1}$

— Richard Hardy
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Os processos ARMA e GARCH são muito semelhantes em sua apresentação. A linha divisória entre os dois é muito fina, pois obtemos GARCH quando um processo ARMA é assumido para a variação de erro.

— user36853
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Qual é a diferença entre GARCH e ARMA?

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH