Correlações atingíveis para variáveis ​​aleatórias lognormal

Considere as variáveis ​​aleatórias lognormal e com e .X 2 log ( X 1 ) ∼ N ( 0 , 1 ) log ( X 2 ) ∼ N ( 0 , σ 2$X_1$$X_2$$\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$$\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

Estou tentando calcular $\rho_{\max}$ e $\rho_{\min}$ para $\rho (X_1,X_2)$ . Um passo na solução fornecida é:

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ e $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

mas eles fizeram algumas referências à comonotonicidade e contracomonotonicidade. Eu esperava que alguém me ajudasse a entender como eles são relevantes. (Eu sei como tirar isso da expressão geral, mas quero saber especificamente o que as partes de comonotonicidade estavam dizendo.)

Começarei fornecendo a definição de comonotonicidade e contramonotonicidade . Depois, mencionarei por que isso é relevante para calcular o coeficiente de correlação mínimo e máximo possível entre duas variáveis ​​aleatórias. E, finalmente, computarei esses limites para as variáveis ​​aleatórias lognormal e .X $X_1$$X_2$

Comonotonicidade e contramonotonicidade
As variáveis ​​aleatórias são consideradas comonotônicas se sua cópula é o limite superior de Fréchet , que é a mais forte tipo de dependência "positiva". Pode-se mostrar que são comonotônicos se e somente se onde é uma variável aleatória, estão aumentando as funções e M ( u 1 , … , u d ) = min ( u 1 , … , u d ) X 1 , … , X d ( X 1 , … , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , … , h d ( Z ) $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$Z h 1 , … , h d d

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ $Z$$h_1, \ldots, h_d$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$denota igualdade na distribuição. Portanto, variáveis ​​aleatórias comonotônicas são apenas funções de uma única variável aleatória.

As variáveis ​​aleatórias são consideradas contrmonotônicas se sua cópula for o limite inferior de Fréchet , que é o tipo mais forte de dependência "negativa" no caso bivariado. A contramonotonocidade não generaliza para dimensões mais altas. Pode-se mostrar que são contramonotônicos se e somente se que é uma variável aleatória, e e são respectivamente uma função crescente e uma decrescente, ou vice-versa. W ( u 1 , u 2 ) = máx ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

Correlação atingível
Seja e duas variáveis ​​aleatórias com variações estritamente positivas e finitas, e e denotem o coeficiente de correlação possível mínimo e máximo entre e . Então, pode ser mostrado que$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ se e somente se e forem contramonotônicos;$X_1$$X_2$
• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ se e somente se e forem comonotônicos.$X_1$$X_2$

Correlação atingível para variáveis ​​aleatórias lognormal
Para obter , usamos o fato de que a correlação máxima é atingida se e somente se e são comonotônicos. As variáveis ​​aleatórias e que são comonotônicas, pois a função exponencial é uma função (estritamente) crescente e, portanto, .$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

Usando as propriedades de variáveis ​​aleatórias lognormal , temos , , , , e a covariância é Assim, ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

similares com produzem $X_2 = e^{-\sigma Z}$

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Comentário
Este exemplo mostra que é possível ter um par de variáveis ​​aleatórias fortemente dependentes - a comonotonicidade e a contra-monotonicidade são o tipo mais forte de dependência - mas que têm uma correlação muito baixa. O gráfico a seguir mostra esses limites em função de .$\sigma$

Este é o código R que usei para produzir o gráfico acima.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)