Var (X) é conhecido, como calcular Var (1 / X)?

Se eu tiver apenas $\mathrm{Var}(X)$ , como posso calcular $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$?

Eu não tenho qualquer informação sobre a distribuição de $X$ , então não posso usar a transformação, ou quaisquer outros métodos que usam a distribuição de probabilidade de $X$ .

É impossível.

Considere uma sequência $X_n$ de variáveis ​​aleatórias, em que

$$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$$

Então:

$$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$$

Mas $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$aproxima de zero quando$n$vai para o infinito:

$$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$$

Este exemplo usa o fato de que é invariável nas traduções de X , mas V a r ( $\Var(X)$$X$não é.$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Mas mesmo se assumirmos , não podemos calcular V a r ( $\mathrm{E}(X)=0$: deixe$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

$$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

e

$$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$$

Então aproxima de 1 quando n vai para o infinito, mas V a r ( $\Var(X_n)$$n$para todos osn.$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$$n$

Você pode usar a série Taylor para obter uma aproximação dos momentos de baixa ordem de uma variável aleatória transformada. Se a distribuição for razoavelmente "pequena" em torno da média (em um sentido particular), a aproximação pode ser bastante boa.

Então por exemplo

$$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$$

assim

$$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$$

geralmente apenas o primeiro termo é usado

$$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$$

Nesse caso (supondo que eu não tenha cometido um erro), com ,Var[$g(X)=\frac{1}{X}$.$\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: Expansões de Taylor para os momentos de funções de variáveis ​​aleatórias

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Alguns exemplos para ilustrar isso. Gerarei duas amostras (distribuídas por gama) em R, uma com uma distribuição 'não tão rígida' sobre a média e outra um pouco mais apertada.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

A aproximação sugere a variância de deve ser perto de ( 1 / 10 ) 4 × 10 = $1/a$$(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Cálculo algébrico tem que a variância da população real é $1/648 \approx 0.00154$

Agora, para o mais apertado:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

A aproximação sugere a variância de deve ser perto de ( 1 / 10 ) 4 × 1 = $1/a$$(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Algebraic calculation shows that the population variance of the reciprocal is $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$.