As probabilidades negativas / amplitudes de probabilidade têm aplicações fora da mecânica quântica?

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A Mecânica Quântica generalizou a teoria da probabilidade para números negativos / imaginários, principalmente para explicar padrões de interferência, dualidade onda / partícula e coisas geralmente estranhas como essa. Pode ser visto de maneira mais abstrata, porém, como uma generalização não comutativa da probabilidade bayesiana (citação de Terrence Tao). Estou curioso sobre essas coisas, embora de forma alguma seja um especialista. Isso tem aplicativos fora da Mecânica Quântica? Apenas curioso.

probability

— gabgoh
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Bem, tipo isso. Também não sou especialista, mas li ESTE artigo de Esben Haug e achei bastante interessante.

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Você pode interpretar os cálculos que realizo em stats.stackexchange.com/a/332122/919 ( entre outros ) como envolvendo "probabilidades negativas" porque representam distribuições de probabilidades como misturas de medidas positivas e negativas. Entendo, então, que por "aplicação" você quer dizer conceitual , não apenas uma manipulação matemática.

— whuber

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Sim. Gosto muito do artigo que Søren compartilhou e, juntamente com as referências nesse artigo, recomendo Muckenheim, W. et al. (1986). Uma revisão das probabilidades estendidas . Phys. Rep. 133 (6) 337-401. É um artigo de física, com certeza, mas as aplicações não estão todas relacionadas à física quântica.

Minha aplicação favorita pessoal diz respeito ao Teorema de Finetti (também de sabor bayesiano): se não nos importamos com probabilidades negativas, acontece que todas as seqüências permutáveis (mesmo as finitas, talvez correlacionadas negativamente) são uma mistura (assinada) de sequências IID . Certamente, isso por si só tem aplicações na mecânica quântica, em particular, que as estatísticas de Fermi-Dirac produzem o mesmo tipo de representação de mistura (assinada) que as estatísticas de Bose-Einstein.

Meu segundo aplicativo favorito pessoal (fora da própria física) refere-se a distribuições infinitas de divisíveis (ID), que classicamente incluem normal, gama, poisson, ... a lista continua. Não é muito difícil mostrar que as distribuições de ID devem ter suporte ilimitado, o que mata imediatamente distribuições como as distribuições binomial ou uniforme (discreta + contínua). Mas se permitirmos probabilidades negativas, esses problemas desaparecerão e o binômio, uniforme (discreto + contínuo) e várias outras distribuições se tornarão infinitamente divisíveis - nesse sentido estendido , lembre-se. As distribuições de ID estão relacionadas às estatísticas, na medida em que estão limitando as distribuições nos teoremas generalizados de limite central.

A propósito, a primeira aplicação é sussurrada folclore entre probabilistas e o material de divisibilidade infinita é provado aqui , uma cópia eletrônica informal estando aqui .

Presumivelmente, também há um monte de material no arXiv , embora eu não tenha verificado isso há algum tempo.

Como observação final, whuber está absolutamente certo de que não é realmente legal chamar qualquer coisa de probabilidade que não esteja em , no mínimo, não por enquanto. Dado que as "probabilidades negativas" existem há tanto tempo, não vejo isso mudando no futuro próximo, não sem algum tipo de avanço colossal. $[0,1]$

— Alexis
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+1. Parece que suas "probabilidades negativas" são apenas medidas assinadas, certo?

— whuber

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Obrigado. Sim, exatamente certo, os meus são. Os de Khrennikov mencionados em Haug são totalmente diferentes, porém, são limites de frequências relativas em algum tipo de topologia p-adic. Coisas loucas e selvagens.

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Parece bobagem dizer que não podemos chamá-los de probabilidades. Parece semelhante a dizer que não posso chamar números imaginários de "números" também.

— statslearner

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QM não usa probabilidades negativas ou imaginárias: se o fizesse, elas não seriam mais probabilidades!

O que pode ser (e geralmente é) um valor complexo é a função de onda mecânica quântica . A partir dele, a amplitude de probabilidade (que é uma densidade de probabilidade de boa-fé ) pode ser construída; está escrito de várias formas ou . Quando tiver valores escalares (complexos), . Em todos os casos, esses valores são números reais não negativos. $\psi$ $<\psi|\psi>$ $\|\psi\|^2$ $\psi$ $\|\psi\|^2 = \psi^* \psi$

Para detalhes, consulte a seção "Postulados da Mecânica Quântica" no artigo da Wikipedia .

— whuber
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Certo, então a ideia é que as interações entre estados podem interferir e a interseção de dois estados pode "ser negativa".

— Isomorphismes

Na verdade, a formalização de probabilidade assinada não é a formalização da função de onda. Para uma partícula de ponto sem spin, a função de onda é do espaço para : . A formalização da distribuição assinada está no espaço de fase para : . Consulte en.wikipedia.org/wiki/Wigner_quasiprobability_distribution . Bem, a questão não estava clara sobre a qual ela se referia.

C

$\mathbb{C}$

x \mapsto ψ (x)

$x\mapsto\psi(x)$

R

$\mathbb{R}$

(x, q) \mapsto p (x, q)

$(x,q)\mapsto p(x,q)$

— Benoit Sanchez

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Sou da opinião de que "Qual é a aplicação dessa teoria?" é uma pergunta que os estudantes de uma teoria devem responder. A professora McGonagall passa todo o tempo ensinando e pesquisando; cabe a seus alunos encontrar um uso para as coisas do mundo. (pelo menos essa é uma posição defensável, e a visão que adotarei agora)

Portanto, talvez a pergunta deva ser: primeiro, entenda a álgebra das interações quânticas (álgebra de von Neumann); então, procure coisas no mundo que se comportem dessa maneira. Em vez de "Quem mais já fez esse trabalho?"

Dito isto, um exemplo que me atormentou por alguns anos é o uso da álgebra de von Neumann da teoria de decisão por V Danilov e A Lambert-Mogiliansky. Explicitamente, não se trata de "mecânica quântica no cérebro". Em vez disso, "estados interferentes (mentais)" podem ser uma explicação mais precisa do comportamento do consumidor do que a imagem usual:

teoria da utilidade

— isomorfismos
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Não entendo como isso responde à pergunta.

— statslearner

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@Stats Vai para a essência da questão, que é sobre aplicações , daí o significado de probabilidades fora do padrão. (Álgebra de Von Neumann conduzir inevitavelmente a quantidades de valor complexo que em última análise se combinam para produzir probabilidades.)

— whuber