Independência da média e variância de distribuições uniformes discretas

Nos comentários abaixo de um post meu , Glen_b e eu estávamos discutindo como distribuições discretas necessariamente têm média e variação dependentes.

Para uma distribuição normal, faz sentido. Se eu disser a você , você não tem idéia do que é, e se eu disser a , você não tem idéia do que é . (Editado para abordar as estatísticas da amostra, não os parâmetros da população.)$\bar{x}$$s^2$$s^2$$\bar{x}$

Mas então, para uma distribuição uniforme e discreta, a mesma lógica não se aplica? Se eu estimar o centro dos pontos finais, não conheço a escala e, se eu estimar a escala, não conheço o centro.

O que está acontecendo de errado com o meu pensamento?

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Eu fiz a simulação de jbowman. Então eu acertei com a transformação integral de probabilidade (eu acho) para examinar o relacionamento sem nenhuma influência das distribuições marginais (isolamento da cópula).

Data.mean <- Data.var <- rep(NA,20000)
for (i in 1:20000){     
    Data <- sample(seq(1,10,1),100,replace=T)
    Data.mean[i] <- mean(Data)
    Data.var[i] <- var(Data)    
}
par(mfrow=c(2,1))
plot(Data.mean,Data.var,main="Observations")
plot(ecdf(Data.mean)(Data.mean),ecdf(Data.var)(Data.var),main="'Copula'")

Na pequena imagem que aparece no RStudio, o segundo gráfico parece ter cobertura uniforme sobre o quadrado da unidade, portanto, independência. Ao ampliar, existem faixas verticais distintas. Eu acho que isso tem a ver com a discrição e que eu não deveria ler sobre isso. Eu tentei para uma distribuição uniforme contínua em .$(0,10)$

Data.mean <- Data.var <- rep(NA,20000)
for (i in 1:20000){

    Data <- runif(100,0,10)
    Data.mean[i] <- mean(Data)
    Data.var[i] <- var(Data)

}
par(mfrow=c(2,1))
plot(Data.mean,Data.var)
plot(ecdf(Data.mean)(Data.mean),ecdf(Data.var)(Data.var))

Este realmente parece ter pontos distribuídos uniformemente pelo quadrado da unidade, então continuo cético quanto ao fato de que e são independentes.$\bar{x}$$s^2$

A resposta de jbowman (+1) conta grande parte da história. Aqui está um pouco mais.

(a) Para dados de uma distribuição uniforme contínua , a média da amostra e o DP não estão correlacionados, mas não são independentes. Os 'contornos' da trama enfatizam a dependência. Entre distribuições contínuas, a independência vale apenas para o normal.

set.seed(1234)
m = 10^5; n = 5
x = runif(m*n);  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT)
s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=".")

(b) Uniforme discreto. A discretividade torna possível encontrar um valor da média e um valor do SD, de modo que mas$a$$s$$P(\bar X = a) > 0,\, P(S = s) > 0,$$P(\bar X = a, X = s) = 0.$

set.seed(2019)
m = 20000;  n = 5;  x = sample(1:5, m*n, rep=T)
DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT)
s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=20)

(c) Uma distribuição normal arredondada não é normal. Discreteness causa dependência.

set.seed(1776)
m = 10^5; n = 5
x = round(rnorm(m*n, 10, 1));  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT);  s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=20)

(d) Além de (a), usando a distribuição vez de enfatiza os limites dos possíveis valores da média da amostra e do DP. Estamos 'esmagando' um hipercubo tridimensional em dois espaços. Imagens de algumas hiper-arestas são nítidas. [Ref: A figura abaixo é semelhante à Fig. 4.6 em Suess & Trumbo (2010), Introdução à simulação de probabilidade e amostragem de Gibbs com R, Springer.]$\mathsf{Beta}(.1,.1),$$\mathsf{Beta}(1,1) \equiv \mathsf{Unif}(0,1).$

set.seed(1066)
m = 10^5; n = 5
x = rbeta(m*n, .1, .1);  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT);  s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=".")

Adendo por comentário.

Não é que a média e variância são dependentes no caso de distribuições discretas, é que a amostra de média e variância são dependentes dado os parâmetros da distribuição. A média e a variação são funções fixas dos parâmetros da distribuição, e conceitos como "independência" não se aplicam a eles. Consequentemente, você está fazendo as perguntas hipotéticas erradas.

$(\bar{x}, s^2)$$(1, 2, \dots, 10)$

$s^2$$\bar{x}$

Obviamente, um exemplo não pode provar a conjectura de Glen no post ao qual você vinculou e que não existe distribuição discreta com médias e variações independentes de amostra!