Estimador imparcial de exponencial de medida de um conjunto?

Suponha que tenhamos um conjunto (mensurável e adequadamente comportado) $S\subseteq B\subset\mathbb R^n$ , onde $B$ é compacto. Além disso, suponha que possamos extrair amostras da distribuição uniforme sobre $B$ na medida de Lebesgue $\lambda(\cdot)$ e que conhecemos a medida $\lambda(B)$ . Por exemplo, talvez $B$ é uma caixa de $[-c,c]^n$ contendo $S$ .

Para $\alpha\in\mathbb R$ fixo , existe uma maneira simples e imparcial de estimar $e^{-\alpha \lambda(S)}$ amostrando uniformemente os pontos em $B$ e verificando se eles estão dentro ou fora de $S$ ?

Como exemplo de algo que não funciona direito, suponha que amostremos $k$ pontos $p_1,\ldots,p_k\sim\textrm{Uniform}(B)$ . Então podemos usar a estimativa de Monte Carlo

$$\lambda(S)\approx \hat\lambda:= \frac{\#\{p_i\in S\}}{k}\lambda(B).$$ Mas, enquanto λ é um estimador imparcial deλ(S), eu não acho que é o caso quee-alfa λ é um estimador imparciale-alfaλ(S). Existe alguma maneira de modificar esse algoritmo?$\hat\lambda$$\lambda(S)$$e^{-\alpha\hat\lambda}$$e^{-\alpha\lambda(S)}$

Suponha que você tenha os seguintes recursos disponíveis:

1. Você tem acesso a um estimador λ .$\hat{\lambda}$
2. $\hat{\lambda}$ é imparcial para$\lambda ( S )$.
3. $\hat{\lambda}$ é quase certamente limitado superiormente por$C$.
4. Você conhece a constante $C$ , e
5. Você pode formar realizações independentes de λ tantas vezes quanto você gostaria.$\hat{\lambda}$

Agora, observe que para qualquer $u > 0$ , o seguinte vale (pela expansão de Taylor de $\exp x$ ):

$$\begin{align} e^{-\alpha \lambda ( S ) } &= e^{-\alpha C} \cdot e^{\alpha \left( C - \lambda ( S ) \right)} \\ &= e^{- \alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{- \alpha C} \cdot e^u \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ e^{-u} \cdot \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \end{align}$$

Agora, faça o seguinte:

1. Exemplo de .$K \sim \text{Poisson} ( u )$
2. Forme como estimadores imparciais de .$\hat{\lambda}_1, \cdots, \hat{\lambda}_K$$\lambda(S)$
3. Retornar o estimador

$$\hat{\Lambda} = e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \cdot \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\}.$$

$\hat{\Lambda}$ X(S) é então um estimador não negativo e imparcial de . Isto é porque$\lambda(S)$

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \mathbf{E} \left[ \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\} | K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \mathbf{E} \left[ C - \hat{\lambda}_i \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \left[ C - \lambda ( S ) \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \end{align}$$

e assim

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} \right] &= \mathbf{E}_K \left[ \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] \right] \\ &= \mathbf{E}_K \left[ e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \mathbf{P} ( K = k ) \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \\ &= e^{-\alpha \lambda ( S ) } \end{align}$$

pelo cálculo anterior.

A resposta está no negativo.

Uma estatística suficiente para uma amostra uniforme é a contagem dos pontos observados em Essa contagem tem uma distribuição binomial . Escreva e$X$$S.$$(n,\lambda(S)/\lambda(B))$$p=\lambda(S)/\lambda(B)$$\alpha^\prime = \alpha\lambda(B).$

Para um tamanho de amostra de seja qualquer estimador (não aleatório) de A expectativa é$n,$$t_n$$\exp(-\alpha \lambda(S)) = \exp(-(\alpha\lambda(B)) p) = \exp(-\alpha^\prime p).$

$$E[t_n(X)] = \sum_{x=0}^n \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}\, t_n(x),$$

que é igual a um polinômio de grau no máximo em Mas se o exponencial não pode ser expresso como um polinômio em (Uma prova: pegue derivadas. O resultado para a expectativa será zero, mas a derivada do exponencial, que é exponencial em não pode ser zero.)$n$$p.$$\alpha^\prime p \ne 0,$$\exp(-\alpha^\prime p)$$p.$$n+1$$p,$

A demonstração para estimadores aleatórios é quase a mesma: ao assumir as expectativas, obtemos novamente um polinômio em$p.$

Conseqüentemente, nenhum estimador imparcial existe.