Uma regressão logística que maximiza a probabilidade necessariamente também maximiza a AUC em relação aos modelos lineares?

Dado um conjunto de dados com resultados binários e alguma matriz preditora , o modelo de regressão logística padrão estima coeficientes que maximizam a probabilidade binomial. Quando está na classificação completa, é único; quando a separação perfeita não está presente, é finita. $y\in\{0,1\}^n$ $X\in\mathbb{R}^{n\times p}$ $\beta_{MLE}$ $X$ $\beta_{MLE}$

Esse modelo de máxima verossimilhança também maximiza a AUC do ROC (também conhecida como estatística $c$ ), ou existe alguma estimativa de coeficiente $\beta_{AUC} \neq \beta_{MLE}$ que obterá uma AUC do ROC mais alta? Se é verdade que o MLE não maximiza necessariamente a AUC do ROC, outra maneira de analisar essa questão é "Existe uma alternativa à maximização da probabilidade que sempre maximizará a AUC do ROC de uma regressão logística?"

Estou assumindo que os modelos são os mesmos: não estamos adicionando ou removendo preditores em $X$ ou alterando a especificação do modelo, e estou assumindo que os modelos de maximização de probabilidade e maximização de AUC estão usando a mesma função de link.

logistic maximum-likelihood auc

— Sycorax diz restabelecer Monica
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Certamente se, por exemplo, alguma função de link gerar um ajuste melhor que um logit? Fora isso, boa pergunta, se o processo de geração de dados puder ser assumido como logit.

β_{AUC} \neq β_{MLE}

$\beta_{\text{AUC}} \neq \beta_{\text{MLE}}$

— Nutle

Boa pergunta, mas considere isso. O ROC e a AUC são usados para comparar dois modelos diferentes; portanto, se uma solução para a estimativa de MLE de qualquer modelo for única, isso significa que você poderá obter uma AUC diferente apenas se alterar a especificação do modelo atual e estimar uma nova diferente. modelo via MLE. Portanto, nesse ponto, outra pergunta seria: existe algum outro método de estimativa "melhor" (algoritmo de maximização ecc) que não seja o MLE simples aplicável ao mesmo modelo, de modo que eu chegue a estimativas diferentes dos coeficientes que levam a novos betas "melhores" com AUC mais alta?

— Fr1

@Nutle exatamente, isso seria uma especificação diferente

— Fr1

@ Fr1 Sim, é isso que significa único. O que estou sugerindo na minha pergunta é algo como "e se houver alguma alternativa ao MLE que alcance uma AUC mais alta?" Se é verdade que existe um modelo linear diferente (um modelo que não seja o MLE) que atinge uma AUC mais alta, seria interessante saber sobre isso.

— Sycorax diz Reinstate Monica

@ Sycorax, o que mais nós assumimos? :) Pressupostos são importantes, pois se conhecermos o verdadeiro DGP com o link e as variáveis usadas, o MLE é uma estatística imparcial uniformemente mais poderosa.

— Nutle

Não é o caso que . $\beta_{MLE} = \beta_{AUC}$

Para ilustrar isso, considere que a AUC pode ser escrita como

$P(\hat y_1 > \hat y_0 | y_1 = 1, y_0 = 0)$

Em outras palavras, a ordem das previsões é a única coisa que afeta a AUC . Este não é o caso da função de probabilidade. Portanto, como exercício mental, suponha que tínhamos preditores únicos e, em nosso conjunto de dados, não vemos separação perfeita (por exemplo, é finito). Agora, se simplesmente pegarmos o valor do maior preditor e aumentarmos em alguma quantia pequena, mudaremos a probabilidade dessa solução, mas ela não mudará a AUC, pois a ordem deve permanecer a mesma. Assim, se o antigo MLE maximizou a AUC, ele ainda maximizará a AUC após a alteração do preditor, mas não maximizará a probabilidade. $\beta_{MLE}$

Portanto, no mínimo, não é o caso de não ser único; qualquer que preserva a ordem das estimativas atinge exatamente a mesma AUC. Em geral, como a AUC é sensível a diferentes aspectos dos dados, eu acreditaria que deveríamos encontrar um caso em que não maximize . De fato, arriscaria adivinhar que isso acontece com alta probabilidade. $\beta_{AUC}$ $\beta$ $\beta_{MLE}$ $\beta_{AUC}$

EDIT (movendo o comentário para a resposta)

O próximo passo é provar que o MLE não maximiza necessariamente a AUC (o que ainda não foi comprovado). Pode-se fazer isso usando algo como os preditores 1, 2, 3, 4, 5, 6, (com ) com resultados 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0. Qualquer valor positivo de maximizará a AUC (independentemente do valor de ), mas podemos escolher um grande o suficiente para que . $x$ $x > 6$ $\beta$ $x$ $x$ $\beta_{MLE} < 0$

— Cliff AB
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(+1) Ah! Claro - como se trata de pedido, poderíamos alterar arbitrariamente a interceptação, que obviamente deve alterar o valor da probabilidade, mas o pedido deve ser o mesmo, porque nenhum dos coeficientes do recurso foi alterado, portanto a AUC permanecerá fixa.

— Sycorax diz Restabelecer Monica

+1. O exemplo de edição funciona com

? Se precisarmos tomar

suficientemente grande para que isso funcione com

grande , a probabilidade de tais valores existirem rapidamente converge para 0, para algum logit fixo?

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

x

$x$

n

$n$

— Nutle

@ Nutle: bem, depende do que você quer dizer sobre

. Se tirarmos

cópias (preditores + resultados) do meu conjunto de dados de brinquedos, sim, o resultado será válido. No entanto, se tirássemos

cópias desse conjunto de preditores e os dados realmente viessem de um modelo de regressão logística, isso quase nunca aconteceria (como você indica). Observe, no entanto, que algo semelhante a isso poderia acontecer com alta probabilidade se a relação entre os preditores não seguisse realmente um modelo de regressão logística.

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

n

$n$

n

$n$

— Cliff AB

Sim, obrigado, estava falando sobre o tamanho. Então, supondo que essa distribuição de cauda pesada seja conhecida, o exemplo ainda seria válido se a estimativa do MLE fosse ajustada para a distribuição verdadeira? O que estou procurando é que, se a probabilidade de tal

existir para qualquer amostra

não se aproximar de 0, a estimativa do MLE não deve reagir adequadamente e não agir como faria com um outlier? Desculpe se eu não estou totalmente claro aqui com a redacção

x

$x$

n

$n$

— Nutle