Seja uma sequência de variáveis aleatórias iid . Defina e para . Encontre a distribuição limitadora de
Esse problema é de um livro de problemas sobre Teoria da Probabilidade, no capítulo sobre o Teorema do Limite Central.
Como e são independentes, e
Observe que os claramente não são independentes. O problema é do Problems in Probability , de Shiryaev , que é baseado no livro do mesmo autor. O livro não parece cobrir o CLT para variáveis correlacionadas. Não sei se há uma sequência estacionária de mixagem escondida em algum lugar ...
Realizei simulações para ter uma ideia da resposta
import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples
X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)
plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()
Abaixo está um histograma de amostras ( ). Parece bastante normalmente distribuído ...