Como calcular a média truncada ou aparada?

Como posso calcular a média truncada ou aparada? Digamos truncado em 10%?

Eu posso imaginar como fazê-lo se você tiver 10 entradas, mais ou menos, mas como posso fazer isso para muitas entradas?

A média aparada envolve aparar observações em porcentagem de de ambas as extremidades.$P$

Por exemplo: se você for solicitado a calcular uma média aparada de 10%, .$P = 10$

Dadas observações, :$X_i$

1. Primeiro encontre = número de observações.$n$
2. Reordene-os como "estatísticas de pedidos" do menor para o maior. $X_i$
3. Encontre letras minúsculas = proporção aparada.$p = P/100$
4. Cálculo .$n p$

Se for um número inteiro, use e apare observações nas duas extremidades. $n p$$k = n p$$k$

$R$ = observações restantes = .$n - 2k$

Média =$(1/R) \left( X_{k+1} + X_{k+2} + \ldots + X_{n-k} \right).$

Exemplo : encontre 10% de média aparada de

2, 4, 6, 7, 11, 21, 81, 90, 105, 121

Aqui, que é um número inteiro, então apare exatamente uma observação em cada extremidade, pois . Assim, apare 2 e 121. Ficamos com observações.$n = 10, p = 0.10, k = n p = 1$$k = 1$$R = n - 2k = 10 - 2 = 8$

Média aparada de 10% = (1/8) * (4 + 6 + 7 + 11 + 21 + 81 + 90 + 105) = 40,625

Se tem uma parte fracionária presente, a média aparada é um pouco mais complicada. No exemplo acima, se quisermos 15% de média aparada, . Isso tem parte inteira 1 e parte fracionária 0,5 está presente. . Assim, observações são mantidas.$n p$$P = 15, p = 0.15, n = 10, k = n p = 1.5$$R = n - 2k = 10 - 2 * 1.5 = 10 - 3 = 7$$R = 7$

Adendo ao comentário do @ whuber: Para permanecer imparcial (após remover 2 e 121), parece que devemos remover metade dos 4 e metade dos 105 para obter uma média aparada de$(4/2 + 6 + 7 + 11 + 21 + 81 + 90 + 105/2)/7 = 38.64$

Fonte: Notas da classe sobre a média aparada em P por cento

Além da resposta acima, se houver muitas entradas (digamos n), primeiro classificá-las leva tempo O (n log n). No entanto, existe uma solução de tempo linear.

1. Calcule o L-quantil P e o U (1-P) -quantil. Existe um algoritmo simples (do tipo quicksort) para isso, que é executado no tempo linear esperado. Há também um algoritmo mais complicado que é executado no pior dos casos no tempo linear. Ambos podem ser encontrados, por exemplo, em: Cormen, Leiserson, Rivest, Stein: Introdução aos Algortitmos.

2. Examine todos os valores e adicione aqueles entre L e U. Isso obviamente leva tempo linear.

3. Se houver empates e os quantis computados existirem várias vezes entre os valores, poderemos ter adicionado muitos ou poucos valores e talvez seja necessário corrigi-lo adequadamente. Como sabemos quantos números adicionamos na etapa 2 e também quantas vezes vimos L e U, isso pode ser feito em tempo constante.

4. Divida a soma total pelo número de somas.

Observe que a receita acima só vale a pena se n for realmente grande e classificar todas elas for um sucesso, talvez alguns milhões.