Alguém pode me explicar os parâmetros de uma distribuição lognormal?

Estou lendo e esta é a definição que obtive do livro de DeGroot:

Isso significa que os parâmetros são os mesmos? Por exemplo, suponha que X seja lognormalmente distribuído e Y seja normalmente distribuído onde Y = log (X). Isso está dizendo que X e Y têm a mesma média e DPs, embora sejam distribuições de formas diferentes? Caso contrário, a que distribuição se refere μ e σ?

Em outras palavras, se alguém disser que X é lognormalmente distribuído com média μ e SD σ, preciso fazer alguma conversão para que a média e o DP estejam em termos normais?

normal-distribution lognormal

— confuso
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Não confunda parâmetros de uma família de distribuição com momentos. Embora parametrize as distribuições Lognormal, elas não são seus meios ou desvios padrão.

μ, σ

$\mu,\sigma$

— whuber

Eles têm os mesmos parâmetros, mas eles não têm a mesma média ou o mesmo desvio padrão. Os dois parâmetros, e que são a média e o desvio padrão de não são a média e o desvio padrão de Mas a média e o desvio padrão de são funções de e

μ

$\mu$

σ,

$\sigma,$

\log X,

$\log X,$

X .

$X.$

X

$X$

μ

$\mu$

σ .

$\sigma. \qquad$

— Michael Hardy

Respostas:

Assuma que X é log normalmente distribuído e Y é normalmente distribuído onde Y = log (X)

É aqui que você está confuso. Você não faz suposições sobre duas distribuições, uma das quais é apenas o log da outra.

Em vez disso, você começa com uma distribuição . Então você considera . Se , em seguida, se diz que a distribuição original é lognormal com parâmetros e . $X$ $\log X$ $\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $X$ $\mu$ $\sigma^2$

(E então a média de é , por exemplo, portanto os parâmetros certamente não são os mesmos. É também por isso que é melhor fale dos "parâmetros" de um lognormal, e não do "mean and SD" - porque é muito fácil ficar confuso se eles se referem à média real ou ao log-mean, o mesmo para SD.) $X$ $\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$

— Stephan Kolassa
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Ok, obrigado por esclarecer. Portanto, geralmente quando as pessoas fornecem os parâmetros, como μ e σ, que se referem à distribuição de Y ou log (X). Obter a média da distribuição lognormal requer uma conversão.

— confuso

Boa resposta! Eu estava apenas alguns segundos atrasado em publicar o meu. Is

— Isabella Ghement 18/09/19

Mas os parâmetros são os mesmos. Então a média e o desvio padrão e muitas outras coisas são iguais, mas esses dois parâmetros são os mesmos.

— Michael Hardy

@ MichaelHardy: sim, os parâmetros são os mesmos, por definição. Eu estremeço um pouco toda vez que alguém chama "parâmetro médio do lognormal", porque é apenas o log-mean e é muito fácil confundi-los.

μ

$\mu$

— Stephan Kolassa

A Wikipedia tem um bom artigo sobre distribuições normais de log: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution . O artigo revela que o log normalmente distribuído X e o log normalmente distribuído (X) têm diferentes meios e desvios padrão.

Se X seguir uma distribuição log-normal com os parâmetros e , e representam a média e o desvio padrão da distribuição do log (X), o que é normal. Em outras palavras, a média e o desvio padrão do log normalmente distribuído (X) são: $\mu$ $\sigma$ $\mu$ $\sigma$

Média de $\log(X)=\mu$

SD de $\log(X) = \sigma$

A média e o desvio padrão do X log-normalmente distribuído são os seguintes:

Média de X = $\exp(\mu + \sigma^2/2)$

SD de X = $\sqrt{\left[\exp\left(\sigma^2\right) - 1\right] \cdot \exp(2\mu + \sigma^2)}$

— Isabella Ghement
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A resposta de Isabella Ghement é boa. Só queria salientar que nessa resposta, SD de X tem um erro de digitação. exp [𝜎 ^ 2−1] deve ser (exp [𝜎 ^ 2] −1). Estava fazendo amostragem de Monte Carlo para verificar a média e o desvio padrão de uma distribuição log-normal e meu desvio padrão não correspondia à expressão acima. Verificou a página wiki vinculada e anotou o erro de digitação. PS: Na verdade, queria adicionar um comentário à resposta @Isabella Ghement, mas não tenho credenciais necessárias para fazer isso. Adicionando uma nova resposta.

— Ajay A