Respostas:
Não, em geral isso não é verdade.
Uma maneira simples de ver isso é simular. Eu costumo cortar um loop infinito que para se encontrar um contra-exemplo. Se durar muito tempo, começo a pensar se a afirmação pode ser verdadeira. No presente caso, meu código R se parece com isso:
while ( TRUE ) {
xx <- runif(3)
mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
if ( mad > sd ) break
}
xx
Rende este contra-exemplo:
[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893
Aqui está uma abordagem mais matemática. Em primeiro lugar, provavelmente é verdade que, com uma mudança de variáveis, podemos assumir que a média é zero. Certamente, do ponto de vista de encontrar um exemplo contrário, isso é aceitável. Portanto, definindo , quadrando os dois lados da desigualdade proposta e multiplicando por (n-1) um fica com a desigualdade proposta -
Isso parece suspeito. (n-1) não é suficiente para compensar todas astermos. Especialmente se todos os forem iguais em valor absoluto. Meu primeiro palpite foi n = 4 e . Isso leva a . Eu acho que esse tipo de coisa é bem conhecido por pessoas interessadas em desigualdades.