Para acertar todas as respostas, faça o mesmo exame por menos vezes

A chuva nunca estuda, por isso ela é completamente ignorante durante o meio do período, mesmo que consistindo apenas de perguntas Sim / Não. Felizmente, o professor de Rain permite que ela retome o mesmo intermediário quantas vezes quiser, mas ele apenas reporta a pontuação, para que Rain não saiba quais problemas ela errou. Como o Rain pode obter todas as respostas corretas ao refazer o exame um número mínimo de vezes?

Para ser mais formal, o exame tem um total de $n$ Perguntas Sim / Não, cuja resposta correta é $X_1, X_2, \dots, X_n \stackrel{iid}{\sim} \text{Bernoulli}(0.5)$. Quero encontrar uma estratégia que minimize o número esperado de vezes que o Rain precisa refazer o exame.

Eu tenho pensado nisso por um tempo. Quando Rain faz o teste intermediário pela primeira vez, sua pontuação sempre terá uma distribuição de , independentemente da resposta, portanto cada estratégia diminui a mesma quantidade de entropia. Eu não tenho idéia do que isso significa, no entanto. Isso significa que qualquer palpite aleatório é tão bom quanto responder a todos os "Sim" ou todos os "Não"?$\text{Binom}(n, 0.5)$

Embora essa não seja uma questão de lição de casa, pretendo basear meu próximo projeto de pesquisa em torno dele, então

1. Forneça algumas dicas em vez de uma resposta completa;
2. Se esta pergunta já foi respondida, por favor me dê um ponteiro.

Isso é semelhante ao jogo Mastermind .

Há muita literatura sobre esse tópico. Para esse caso específico (4 perguntas com cada 6 opções), várias estratégias foram elaboradas para reduzir o número médio de tomadas para um pouco acima de 4,3.

Você pode escolher uma dessas estratégias ou fazer uma nova e aplicá-la ao caso de $n$ perguntas com $2$opções, qual é a sua situação. A pergunta é muito ampla para fornecer uma resposta detalhada aqui.

Esse é um problema de otimização em que você procura encontrar um desconhecido $n$número binário de-dígitos de suposições, em que o feedback dessas suposições é que você recebe o número de dígitos corretos. Isso é essencialmente apenas Mastermind binário , que também é examinado em um problema computacional chamado "otimização de caixa preta" (ver, por exemplo, Doerr et al 2001 ).

Como outros já disseram, o problema é muito parecido com o jogo Mastermind. Suponha que as respostas corretas sejam variáveis ​​binárias$c_i$ para $i = 1, \ldots, n$ e que Rain faz o teste $k$ vezes, às vezes $j$ respondendo $x_{i, j}$ ao $i$quinta questão ($i \le n, j \le k$) A resposta total correta para o$j$é a quinta vez $T_j$.

O que se segue são apenas algumas observações e notas, com base na solicitação explícita do OP para fornecer apenas algumas dicas sobre o problema.

1. Observe que um limite inferior "teórico da informação" fácil $k$ para uma configuração genérica de respostas corretas é $k \ge O(n / \log n)$: cada teste fornece à Rain um número $0 \le T_j \le n$, o que equivale a $\le \log n$ conhecimento, enquanto o conhecimento necessário para conhecer todas as respostas é ~$n$ (por causa do $n$ perguntas binárias).

2. No caso geral, você pode definir variáveis $z^Y_i$ e $z^N_i$ ser estar $0$ ou $1$ respectivamente se o $i$-a resposta correta é Sim ou Não. Dessa forma, seu problema é determinar o ponto de respostas corretas em um espaço linear "discreto" da dimensão $2n$: para ver por que considerar que, pela definição acima de variáveis, você tem as restrições

   $$z^Y_i + z^N_i = 1$$

   Além disso, no seu $j$-ª realização do exame, você está testando uma combinação linear dessas variáveis ​​e sabe que a soma delas é $T_j$:

   $$\sum_{i = 1}^n z^{Y/N}_i = T_j$$

   Isso destaca que é trivial resolver esse problema em $n$ consultas, porque ao fazer o teste $k$ vezes que você tem $n + k$ equações que definem um ponto em um $2n$ espaço dimensional, para que, se você for inteligente o suficiente para não fazer consultas redundantes (apenas altere suas respostas uma de cada vez), poderá realizar apenas $n$ vezes o teste.

3. Em casos específicos (como quando a relação sim / não é particularmente desequilibrada), deve ser fácil criar heurísticas particularmente adequadas: suponha que, por exemplo, você saiba que existe apenas uma resposta Sim em todo o questionário. Você pode encontrá-lo em apenas$\log n$consultas por bissecção padrão nos conjuntos de respostas. Além disso, você pode verificar se está nesse caso emitindo uma primeira consulta "tudo sim" (nesse caso)$T_1 = 1$)

4. Generalizando a ideia no ponto anterior, se o número de respostas Sim for $C$ (suponha $C \le n/2$) (e isso pode ser conhecido por uma única consulta), você está basicamente pesquisando um conjunto de tamanhos $C$ dentro de um conjunto de tamanho $n$ (portanto, existem $\binom{n}{C} \simeq n^C$ ) e sua consulta consiste em conhecer a cardinalidade da interseção de um conjunto $S$ de sua escolha com o referido conjunto de perguntas Sim, que eu acho que é um problema muito mais estudado e você provavelmente pode encontrar muitas referências sobre ele.

   Ligue para o aparelho que você está procurando (respostas Sim) $Y$. Com uma única consulta, você pode conhecer sua cardinalidade$|Y| = m$. Agora, um conjunto selecionado aleatoriamente$S$ usado como consulta permite conhecer a cardinalidade dos dois subconjuntos $|Y \cap S| = t$ e $|Y \cap S^c| = m - t$, e seu problema original foi reduzido para dois subproblemas com aproximadamente a metade do tamanho (também o número de respostas Sim procuradas geralmente será dividido pela metade a cada iteração). Não vou escrever detalhes explícitos, mas é apenas uma questão de cálculos simples de probabilidade.

   Explorando a observação acima, você deve criar um algoritmo probabilítico que resolva o subproblema $P(m, n) \simeq\le 1 + 2 * P(m/2, n/2)$, o que deve proporcionar a você um limite de $O(m \log n)$. A criação de um algoritmo determinístico para esse problema pode ser feita usando a técnica das expectativas maximizadas, mas não posso prever se funcionaria ou não.

Deseja minimizar o número máximo de repetições? ou minimizar o número esperado de retomadas?

Você pode criar estratégias muito diferentes, dependendo da qual deseja analisar.

Uma abordagem ingênua do primeiro passo levaria até $n+1$vezes e consistiria em fazer o teste pela primeira vez e, na segunda vez, alterar apenas a primeira resposta. Se a pontuação subir, mantenha a nova resposta; se diminuir, volte para a primeira resposta para todo o futuro. passos. Na 3ª vez (2ª repetição), altere apenas a 2ª resposta, etc.

Agora você pode começar a comparar outras estratégias a essa. Se na 2ª vez do teste 2 respostas forem alteradas, se a pontuação for alterada, sabemos as respostas corretas para 2 perguntas e salvamos uma etapa, mas se alteramos uma para a correta e a outra para a errada, a pontuação será alterada. não muda e não sabemos qual alteração estava correta até fazermos o exame uma terceira vez, alterando apenas uma delas (mas isso também nos dirá sobre a outra), então 1 ou 2 tentam obter 2 respostas (50% chance de cada), o que reduzirá o número esperado de repetições, mas provavelmente manterá o máximo no mesmo.

Agora você pode examinar outras estratégias e ver como elas se comparam (altere as 3 primeiras respostas, altere as primeiras $\frac{n}{2}$etc.).