Por que o limite de uma distribuição ao quadrado do Chi é uma distribuição normal?

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Meu professor afirmou que tem uma distribuição normal. A alegação foi feita com base no Teorema do Limite Central: como , temos um Normal . Não vejo como isso é válido nem verdadeiro, pois essa afirmação teria um limite de no lado esquerdo, mas também aparece no lado direito. Além disso, e dependem de ... $\lim_{p\to\infty}\chi^2_p$ $p\to\infty$ $(p\mu, p^2\sigma^2)$ $p$ $p$ $\sigma^2$ $\mu$ $p$

O que estou perdendo e como me convencer da distribuição desse limite?

— fool126
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Você não está perdendo nada, e a alegação do seu professor é falsa exatamente pelas mesmas razões que você apresentou: as operações de limitação precisam de um alvo fixo e não um alvo móvel, onde

p

$p$ aparece no limite. O que é verdade é que a distribuição de uma variável aleatória adequadamente unitizada (média zero, variação de unidade) relacionada a

χ_{p}^{2}

$\chi_p^2$ está convergindo para a distribuição aleatória normal padrão.

— Dilip Sarwate

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Essa propriedade segue o teorema do limite central, usando o fato de que a distribuição qui-quadrado é obtida como a distribuição de uma soma dos quadrados das variáveis aleatórias normais padrão independentes. Se você possui uma sequência de variáveis aleatórias $Z_1,Z_2,Z_3, ... \sim \text{IID N}(0,1)$ então você tem:

χ_{p}^{2} \equiv \sum_{i = 1}^{p} Z_{i}^{2} \sim ChiSq (p) .

$\chi_p^2 \equiv \sum_{i=1}^p Z_i^2 \sim \text{ChiSq}(p).$

Agora, as variáveis aleatórias $Z_1^2,Z_2^2,Z_3^2, ...$ são IID com média $\mathbb{E}(Z_i^2) = 1$ e variação $\mathbb{V}(Z_i^2) = 2 < \infty$ , por isso temos $\mathbb{E}(\chi_p^2) = p$ e $\mathbb{V}(\chi_p^2) = 2p$ . Aplicando o teorema clássico do limite central, você obtém:

lim_{p \to \infty} P (\frac{χ_{p}^{2} - p}{\sqrt{2 p}} ⩽ z) = Φ (z) .

$\lim_{p \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Bigg( \frac{\chi_p^2 - p}{\sqrt{2p}} \leqslant z \Bigg) = \Phi(z).$

Outra maneira de escrever esse resultado limitador formal é que:

\frac{χ_{p}^{2} - p}{\sqrt{2 p}} \overset{Dist}{\to} N (0, 1) .

$\frac{\chi_p^2 - p}{\sqrt{2p}} \overset{\text{Dist}}{\rightarrow} \text{N}(0, 1).$

Esse é o resultado formal de convergência que se aplica à distribuição qui-quadrado. Informalmente, para , temos a distribuição aproximada: $p \in \mathbb{N}$

χ_{p}^{2} \overset{Approx}{\to} N (p, 2 p) .

$\chi_p^2 \overset{\text{Approx}}{\rightarrow} \text{N}(p, 2p).$

Embora não seja estritamente correta, algumas vezes essa aproximação informal é afirmada como um tipo de resultado de convergência, referindo-se informalmente à convergência onde aparece em ambos os lados. (Ou, às vezes, é estritamente correto adicionando um termo de pedido apropriado.) Isso é provavelmente o que seu professor estava se referindo. $p$

Em relação a essa propriedade, vale ressaltar que a distribuição gama converge para o normal, pois o parâmetro de escala tende ao infinito; a convergência da distribuição qui-quadrado para o normal é um caso especial desse resultado mais amplo de convergência.

— Ben - Restabelecer Monica
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Obrigado pela resposta e votado! Apenas imaginando se poderíamos dizer algo semelhante para o limite da comoAqui a é a raiz quadrada da .

χ (p)

$\chi(p)$

p \to \infty ?

$p \to \infty?$

χ (p)

$\chi(p)$

χ^{2} (p)

$\chi^2(p)$

— Mathmath

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A padronizado variável aleatória chi também converge em distribuição ao normal, então o resultado limite que você recebe é semelhante, mas com a variação média e da distribuição chi substituindo e respectivamente.

p

$p$

2 p

$2p$

— Ben - Restabelece Monica

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$\lim_{p \rightarrow \infty} \frac{\chi^2_p - p\mu}{p\sigma} \overset{d}{\rightarrow} N(0,1)$

https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution#Relation_to_other_distributions

— Buscador
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Esta resposta foi sinalizada por um usuário porque reafirma a conclusão, mas não oferece a explicação solicitada.

— whuber