Por que o limite de uma distribuição ao quadrado do Chi é uma distribuição normal?


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Meu professor afirmou que tem uma distribuição normal. A alegação foi feita com base no Teorema do Limite Central: como p \ to \ infty , temos um Normal (p \ mu, p ^ 2 \ sigma ^ 2) . Não vejo como isso é válido nem verdadeiro, pois essa afirmação teria um limite de p no lado esquerdo, mas p também aparece no lado direito. Além disso, \ sigma ^ 2 e \ mu dependem de p ...limpχp2p(pμ,p2σ2)ppσ2μp

O que estou perdendo e como me convencer da distribuição desse limite?


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Você não está perdendo nada, e a alegação do seu professor é falsa exatamente pelas mesmas razões que você apresentou: as operações de limitação precisam de um alvo fixo e não um alvo móvel, onde p aparece no limite. O que é verdade é que a distribuição de uma variável aleatória adequadamente unitizada (média zero, variação de unidade) relacionada a χp2 está convergindo para a distribuição aleatória normal padrão.
Dilip Sarwate

Respostas:


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Essa propriedade segue o teorema do limite central, usando o fato de que a distribuição qui-quadrado é obtida como a distribuição de uma soma dos quadrados das variáveis ​​aleatórias normais padrão independentes. Se você possui uma sequência de variáveis ​​aleatórias Z1,Z2,Z3,...IID N(0,1) então você tem:

χp2i=1pZi2ChiSq(p).

Agora, as variáveis ​​aleatórias Z12,Z22,Z32,... são IID com média E(Zi2)=1 e variação V(Zi2)=2< , por isso temos E(χp2)=p e V(χp2)=2p . Aplicando o teorema clássico do limite central, você obtém:

limpP(χp2p2pz)=Φ(z).

Outra maneira de escrever esse resultado limitador formal é que:

χp2p2pDistN(0,1).

Esse é o resultado formal de convergência que se aplica à distribuição qui-quadrado. Informalmente, para , temos a distribuição aproximada:pN

χp2ApproxN(p,2p).

Embora não seja estritamente correta, algumas vezes essa aproximação informal é afirmada como um tipo de resultado de convergência, referindo-se informalmente à convergência onde aparece em ambos os lados. (Ou, às vezes, é estritamente correto adicionando um termo de pedido apropriado.) Isso é provavelmente o que seu professor estava se referindo.p

Em relação a essa propriedade, vale ressaltar que a distribuição gama converge para o normal, pois o parâmetro de escala tende ao infinito; a convergência da distribuição qui-quadrado para o normal é um caso especial desse resultado mais amplo de convergência.


Obrigado pela resposta e votado! Apenas imaginando se poderíamos dizer algo semelhante para o limite da comoAqui a é a raiz quadrada da . χ(p)p?χ(p)χ2(p)
Mathmath

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A padronizado variável aleatória chi também converge em distribuição ao normal, então o resultado limite que você recebe é semelhante, mas com a variação média e da distribuição chi substituindo e respectivamente. p2p
Ben - Restabelece Monica

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