O que há de errado com a minha prova da Lei da Variação Total?

De acordo com a Lei da variância total,

$$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$$

Ao tentar provar isso, escrevo

$$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$$

O que há de errado com isso?

A terceira linha está errada, porque você não tem $\text{E}[X|Y]$ na segunda linha. Por exemplo, se $Y$ for Bernoulli (1/2) e $X$ for 1 se $Y$ for 1 e -1 se $Y$ for 0, então $\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$ (é isso que você deseja) porque é totalmente informativo sobre , mas o que você tem lhe dará$Y$$X$$\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$ .

Não vou mentir, você me fez questionar a mim mesmo e eu tive que encarar isso um pouco antes que me atingisse, mesmo tendo que provar LOTV para mim mesmo um bilhão de vezes: P

A transição da segunda para a terceira linha não segue. Desde você tem:$\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$

$$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$$

No caso especial em que para todos os seu trabalho e resultado permaneceriam válidos e seria um caso especial de o resultado mais geral.$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$$y \in \mathbb{R}$

$$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$$