Ligação entre função geradora de momento e função característica

Estou tentando entender o vínculo entre a função geradora de momento e a função característica. A função geradora de momento é definida como:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Usando a expansão em série de , Posso encontrar todos os momentos da distribuição para a variável aleatória X. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

A função característica é definida como:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Eu não entendo completamente o que informações o número imaginário me dá mais. Vejo que e, portanto, não temos apenas na função característica, mas por que precisamos subtrair momentos na função característica? Qual é a ideia matemática? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— Giuseppe
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Um ponto importante é que a função geradora de momentos nem sempre é finita! (Veja esta pergunta , por exemplo.) Se você deseja construir uma teoria geral, digamos, sobre convergência na distribuição, gostaria de poder fazê-la funcionar com o maior número possível de objetos. A função característica é, obviamente, finita para qualquer variável aleatória desde

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$ .

— cardeal

As semelhanças nas expansões de Taylor ainda permitem ler os momentos, quando eles existem, mas observe que nem todas as distribuições têm momentos; portanto, o interesse nessas funções vai muito além disso! :)

— cardeal

Outro ponto a ser observado é que o MGF é a transformação de Laplace de uma variável aleatória e o CF é a transformação de Fourier. Existem relações fundamentais entre essas transformações integrais, veja aqui .

— tchakravarty

Eu pensei que CF é a transformada de Fourier inversa (e não a transformada de Fourier) de uma distribuição de propabilidade?

— 21412 Giuseppe

A distinção é apenas uma questão de sinal no expoente e, possivelmente, uma constante multiplicativa.

— Glen_b -Reinstate Monica

Como mencionado nos comentários, as funções características sempre existem, porque exigem a integração de uma função do módulo . No entanto, a função de geração de momentos não precisa existir, porque requer, em particular, a existência de momentos de qualquer ordem. $1$

Quando sabemos que é integrável para todos os , podemos definir para cada número complexo . Então notamos que e . $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— Davide Giraudo
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