Distribuição com

Existe alguma informação lá fora sobre a distribuição cujo $n$ º cumulant é dada por $\frac 1 n$ ? A função geradora de cumulante é da forma

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x .

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$ Corri através dele como a distribuição limitadora de algumas variáveis aleatórias, mas não consegui encontrar nenhuma informação sobre ele.

distributions mgf cumulants

— cara
fonte

Não vejo que essa função

κ (t)

$\kappa(t)$ você forneceu possui a propriedade reivindicada! Você deve revisar seu trabalho. Aproximando o exponencial no integrando próximo a zero com

1 + t x

$1+tx$ , o integrando próximo a zero se torna

t / x

$t/x$ , portanto é divergente. Portanto, essa integral não pode representar uma função geradora cumulante.

— Kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen não tenho certeza que eu sigo. Aproximando

com

dá

e^{t x}

$e^{tx}$

1 + t x

$1 + tx$

para o integrando. Além disso, de acordo comisso,a função que eu dei tem uma integral conhecida em termos de cosseno hiperbólico e integrais senoidais. Para mostrar que

possui a propriedade reivindicada, basta fazer uma série completa de Taylor em torno de

para

e pressionar a integral para somar para obter a série de Taylor para

torno de

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

e^{t x}

$e^{tx}$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

— cara

sympy diz que a integral é divergente (à sua maneira excêntrica!). Mas o sympy deve estar errado, vejo agora, experimentado alguma integração numérica e funciona muito bem. Tentará novamente.

— Kjetil b halvorsen

Olhando para o resultado dos alfas da Wolphram, ele também não pode estar correto, possui um limite diferente de zero quando t se aproxima de zero, enquanto

claramente.

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$

— Kjetil b halvorsen

Eu acredito que é absolutamente contínuo em

. É realizado como um limite de variáveis aleatórias de Poisson compoud; como

um Poisson composto com taxa

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

e densidade de distribuição de salto

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

converge fracamente para esta distribuição.

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— cara

Conhecer os valores dos cumulantes nos permite ter uma idéia de como será o gráfico dessa distribuição de probabilidade. A média e variância da distribuição é

E [Y] = κ_{1} = 1, Var [Y] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

enquanto os seus coeficientes de assimetria e excesso de curtose são

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{(κ_{2})^{3 / 2}} = \frac{(1 / 3)}{(1 / 2)^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{(κ_{2})^{2}} = \frac{(1 / 4)}{(1 / 2)^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

Portanto, este poderia ser um gráfico familiar de uma variável aleatória positiva exibindo assimetria positiva. Como para encontrar a distribuição de probabilidade, a abordagem de um artesão poderia ser para especificar uma distribuição de probabilidade discreta genérica, tomando valores em , com probabilidades correspondentes $\{0,1,...,m\}$ , e, em seguida, utilizar as cumulantes para calcular os momentos crus, com o objectivo de formar um sistema de equações lineares com as probabilidades sendo as incógnitas. Os cumulantes estão relacionados aos momentos brutos por $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$

κ_{n} = μ_{n}^{'} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) κ_{i} μ_{n - i}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + 3 κ_{2} κ_{1} + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + 4 κ_{3} κ_{1} + 3 κ_{2}^{2} + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + 5 κ_{4} κ_{1} + 10 κ_{3} κ_{2} + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$ If we (momentarily) set

m = 5

$m=5$ we have the system of equations

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s . t . p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

Of course we do not want $m$ to be equal to $5$ . But increasing gradually $m$ (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

— Alecos Papadopoulos
fonte

This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range

(0, a)

$(0, a)$ and then on

(a, \infty)

$(a, \infty)$ it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).

— guy

Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for

a

$a$ ?

— Alecos Papadopoulos

Dug up my old code and found

a \approx 1

$a \approx 1$ . If

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ then

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$ is approximatey

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$ and

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$ is approximately gamma distributed with shape

1.4

$1.4$ and mean

0.64

$0.64$ .

— guy

What do you mean by

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ ?

— Alecos Papadopoulos

So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?

— wolfies