Limites superiores para a densidade da cópula?

O limite superior de Fréchet-Hoeffding se aplica à função de distribuição de cópula e é dado por

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Existe um limite superior semelhante (no sentido de que depende das densidades marginais) para a cópula densidade $c(u_1,...,u_d)$ vez do CDF?

Qualquer referência seria muito apreciada.

— Coppola
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Que tipo de limite você está procurando? Uma descrição do seu problema real pode ajudar. Tecnicamente, a resposta é "não" de duas maneiras diferentes: (i) pode não haver uma densidade (!) E (b) se houver, poderíamos alterá-la em um conjunto de medidas zero para ser tão grande quanto nós ' eu gostaria. Nós sabemos algo , no entanto. Em particular, suponha que

c

$c$ exista e deixe

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$ seja qualquer retângulo (hiper) com comprimentos laterais

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$ . Então, certamente

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— cardeal

Como você pode facilmente construir exemplos que satisfazem esse limite, eu suspeito que não há muito mais que possa ser dito. Mas não pensei nisso com cuidado.

— cardeal

@ cardinal Obrigado por seus comentários. Na verdade, estou assumindo que a densidade existe para evitar o caso trivial. Eu estava procurando por um limite superior em termos de densidades marginais. Estou particularmente interessado na cópula gaussiana.

— Coppola

Se for uma cópula, todas as densidades marginais são uniformes, ou seja, uma função constante. :)

— cardeal

Cardard @ Pardon meu francês. Deixe-me reformular minha pergunta. A cópula gaussiana (na qual estou particularmente interessado) é dada por

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$ . Onde

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$ e

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$ . Por exemplo, isso não pode ser limitado pelo produto

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$ . Então, eu estava procurando outro limite superior que envolva apenas os marginais. E, é claro, eu estava tentando fazer a pergunta de uma maneira mais geral, relacionando-a com os limites acima mencionados. Desculpas pelas minhas vagas palavras.

— Coppola

De um modo geral, não, não há. Por exemplo, no caso da cópula gaussiana bivariada, a quantidade no expoente tem um ponto de sela em (0,0) e, portanto, explode até o infinito em duas direções. Se você se deparar com uma classe de densidades de cópulas que são de fato limitadas, informe-me!

— MHankin
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Você poderia esclarecer o que você quer dizer com "quantidade no expoente"? A presença de um "ponto de sela" não parece consistente com nenhuma definição padrão de uma distribuição gaussiana.

— whuber

@whuber A densidade de uma cópula gaussiana não é uma gaussiana padrão. Se você olhar o comentário de coppola acima, notará que a densidade da cópula gaussiana tem um onde você esperaria apenas a matriz de covariância inversa. A matriz de covariância inversa deve ser positiva simétrica semi-definida, mas o -I permite uma definição não positiva e, portanto, um ponto de sela. Sua presença deve-se à alteração de variáveis ao converter de para

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Sim, estou ciente disso - mas não é isso que sua resposta implica. Essa cópula é parametrizada pela matriz de correlação , mas para qualquer um desses é uma função apenas do . Como tal, nunca "explode até o infinito". Não existem matrizes de correlação válidas (ou seja, não-regeneradas) para as quais essa cópula é ilimitada. Por isso solicitei um esclarecimento sobre sua resposta.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

Acabei de lhe enviar uma versão editável de um artigo mais aprofundado do meu exemplo. Deixe-me saber se você acha que é preciso; nesse caso, adicionarei à minha resposta acima. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin