Soma das variáveis aleatórias Binomial e Poisson

Se tivermos duas variáveis aleatórias independentes e , qual é a função de massa de probabilidade de ? $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ $X_1 + X_2$

NB Isso não é lição de casa para mim.

— Matteo Fasiolo
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Eu acho que você tentou enrolar? pt.wikipedia.org/wiki/… Onde você ficou preso? Presumo que não há forma fechada, caso contrário, a solução seria provavelmente aqui: en.wikipedia.org/wiki/...

— Stephan Kolassa

Sim, foi isso que tentei, mas talvez eu tenha encontrado uma resposta aqui: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Função Kummer confluente hipergeométrica .. hugh !

— 27612 Matteo Fasiolo #

Li a etiqueta da lição de casa de acordo com a sua utilização neste site . Felicidades. :-)

— cardeal

Novel significa novo (não conhecido ou publicado antes). Também não concordo que o uso de métodos conhecidos para solucionar novos problemas torne o dever de casa - o mesmo pode ser dito para a maioria dos artigos de periódicos que publicam resultados em distribuições.

— wolfies

Como em muitos outros casos nas estatísticas em que uma função hipergeométrica aparece com argumentos integrais, você pode entender que é uma notação abreviada da soma implícita (finita) da convolução, se desejar. A vantagem de uma expressão desse tipo é que existem inúmeras maneiras de manipulá-la em formas mais simples e muitas vezes ela pode ser avaliada sem realmente executar a soma.

— whuber

Respostas:

Você terminará com duas fórmulas diferentes para , uma para e outra para . A maneira mais fácil de resolver esse problema é calcular o produto de e . Então, é o coeficiente de no produto. Não é possível simplificar os montantes. $p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ $p_{X_1+X_2}(k)$ $z^k$

— Dilip Sarwate
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Dando a fórmula fechada em termos de funções hipergeométricas generalizadas (GHF) sugeridas em outras respostas (a GHF nesse caso é realmente apenas um polinômio finito, também é uma abreviação para a soma finita). este resultado:

P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

— kjetil b halvorsen
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Dilip Sarwate afirmou há 7 anos que nenhuma simplificação é possível, embora isso tenha sido contestado nos comentários. No entanto, acho útil notar que, mesmo sem nenhuma simplificação, o cálculo é bastante direto em qualquer planilha ou linguagem de programação.

Aqui está uma implementação em R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

— Pere
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Dilip não mostrou que nenhuma simplificação das somas é possível: ele declarou tal afirmação (e a afirmação não parece correta). Se você seguir os links fornecidos pelo OP, será fornecida uma solução em termos de funções hipergeométricas confluentes de Kummer.

— wolfies

@wolfies - Esse seria um ponto muito interessante em uma nova resposta para essa pergunta antiga. Provavelmente mais interessante que o meu.

— Pere

Uma abordagem potencialmente mais rápida para n grande no binômio e lambda grande envolveria transformações rápidas de Fourier (ou similares). Eu o usei com sucesso em vários problemas do mundo real, onde a convolução não é algebricamente conveniente, mas respostas numéricas são suficientes e onde várias variáveis independentes foram adicionadas.

— Glen_b -Reinstala Monica

No comentário de Re @ Glen_b, para valores maiores de e essa convolução de força bruta se torna incômoda. Além disso, o desafio não é implementá-lo, mas encontrar pontos de extremidade adequados para calcular a matriz: fixar em 10 obviamente não será suficiente. Um método confiável é definir percentis extremos da distribuição, como , em seguida, calcular o intervalo e, em seguida, "cortar" os resultados (com ) antes de prosseguir com o produto externo. Quando for grande, aplique um procedimento semelhante às probabilidades binomiais.

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

— whuber

De fato. Fiz algo semelhante com meu próprio aplicativo - sair suficientemente longe deu os quantis necessários com a precisão necessária.

— Glen_b -Reinstala Monica

Soma das variáveis ​​aleatórias Binomial e Poisson

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