Resíduos de Pearson

Uma pergunta de iniciante sobre o resíduo de Pearson no contexto do teste do qui-quadrado para a qualidade do ajuste:

Além da estatística de teste, a chisq.testfunção de R reporta o resíduo de Pearson:

(obs - exp) / sqrt(exp)

Entendo por que olhar para a diferença bruta entre valores observados e esperados não é tão informativo, pois uma amostra menor resultará em uma diferença menor. No entanto, gostaria de saber mais sobre o efeito do denominador: por que dividir pela raiz do valor esperado? Este é um resíduo 'padronizado'?

chi-squared goodness-of-fit residuals

— Iain Dillingham
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O denominador é usado para explicar a variação dos resíduos brutos, que tornam os resíduos de Pearson aproximadamente da variação unitária (existem outros métodos para conseguir isso). Observe que há um componente stdrespara resíduos padronizados.

— chl

@chl Obrigado pela sua resposta rápida. No entanto, não entendo o conceito de variação neste contexto. Você conhece algum recurso em que eu possa aprender mais? Suponho, então, que um resíduo de Pearson não seja 'padronizado', dado que chisq.testtambém calcula o stdrescomponente?

— Iain Dillingham

A referência definitiva à análise de dados categóricos é provavelmente a Categorical Data Analysis , de Alan Agresti. Se ninguém fornecer uma resposta mais detalhada, tentarei converter meus comentários em uma resposta adequada.

— chl

Obrigado pelo link, @chl. Eu tenho acesso ao livro, então tentarei descobrir isso sozinho.

— Iain Dillingham

Respostas:

$n \times m$

X_{i, j} ~ Pois (μ_{i, j})

$X_{i,j} \text{ ~ Pois}(\mu_{i,j})$

$\mathbb{E}(X_{i,j}) = \mathbb{V}(X_{i,j}) = \mu_{i,j}$

STD (X_{i, j}) \equiv \frac{X_{i, j} - E (X_{i, j})}{\sqrt{V (X_{i, j})}} = \frac{X_{i, j} - μ_{i, j}}{\sqrt{μ_{i, j}}}

$\text{STD}(X_{i,j}) \equiv \frac{X_{i,j} - \mathbb{E}(X_{i,j})}{\sqrt{\mathbb{V}(X_{i,j})}} = \frac{X_{i,j} - \mu_{i,j}}{\sqrt{\mu_{i,j}}}$

Então, o que você vê na fórmula sobre a qual está perguntando é a contagem de células padronizada, sob a suposição de que a contagem de células tem uma distribuição Poisson (incondicional).

A partir daqui, é comum testar a independência da variável de linha e coluna nos dados e, nesse caso, você pode usar uma estatística de teste que analise a soma dos quadrados dos valores acima (que é equivalente à norma ao quadrado) do vetor de valores padronizados). O teste qui-quadrado fornece um valor p para esse tipo de teste com base em uma aproximação de amostra grande à distribuição nula da estatística de teste. Geralmente é aplicado nos casos em que nenhuma contagem de vendas é muito pequena.

— Restabelecer Monica
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No contexto da qualidade do ajuste, você pode consultar este http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/chigf.htm .

Se você quiser saber como o denominador chegou lá, terá que ver o qui-quadrado aqui como uma aproximação normal ao binômio, para iniciantes, que pode ser estendido para multinômios.

— RyL
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