Por que a transformação de raiz quadrada é recomendada para dados de contagem?

Em geral, é recomendável obter a raiz quadrada quando você tiver dados de contagem. (Para alguns exemplos no CV, consulte a resposta de @ HarveyMotulsky aqui ou a resposta de @ whuber aqui .) Por outro lado, ao ajustar um modelo linear generalizado com uma variável de resposta distribuída como Poisson, o log é o link canônico . É como fazer uma transformação de log de seus dados de resposta (embora com mais precisão seja uma transformação de log de , o parâmetro que governa a distribuição de resposta). Assim, há alguma tensão entre esses dois. $\lambda$

• Como você concilia essa discrepância (aparente)?
• Por que a raiz quadrada seria melhor que o logaritmo?

A raiz quadrada é aproximadamente estabilizadora de variância para o Poisson . Existem várias variações na raiz quadrada que aprimoram as propriedades, como adicionar$\frac{3}{8}$ antes de obter a raiz quadrada ou o Freeman-Tukey ( - embora também seja frequentemente ajustado para a média).$\sqrt{X}+\sqrt{X+1}$

A transformação da raiz quadrada melhora um pouco a simetria - embora não tão bem quanto o poder [1]:$\frac{2}{3}$

Se você deseja particularmente uma quase normalidade (desde que o parâmetro do Poisson não seja muito pequeno) e não se importe / possa ajustar a heterocedasticidade, tente power.$\frac{2}{3}$

O link canônico geralmente não é uma transformação particularmente boa para os dados de Poisson ; o log zero é um problema específico (outro é a heterocedasticidade; você também pode ter inclinação à esquerda mesmo quando não possui zeros). Se os menores valores não estiverem muito próximos de 0, pode ser útil para linearizar a média. É uma boa 'transformação' para a média da população condicional de um Poisson em vários contextos, mas nem sempre dos dados de Poisson. No entanto, se você deseja transformar, uma estratégia comum é adicionar uma constante que evita o problema . Nesse caso, devemos considerar qual constante adicionar. Sem ficar muito longe da questão em questão, valores de entre$y^*=\log(y+c)$$0$$c$$0.4$e funcionam muito bem (por exemplo, em relação ao viés na estimativa da inclinação) em uma faixa de valores de . Normalmente, uso apenas pois é simples, com valores em torno de muitas vezes se saindo um pouco melhor.$0.5$$\mu$$\frac12$$0.43$

Quanto ao motivo pelo qual as pessoas escolhem uma transformação em detrimento de outra (ou nenhuma) - isso é realmente uma questão do que elas estão fazendo para alcançar.

[1]: Gráficos padronizados após os gráficos de Henrik Bengtsson em seu folheto "Modelos lineares generalizados e resíduos transformados", veja aqui (veja o primeiro slide na p4). Eu adicionei um pouco de instabilidade e omiti as linhas.