Momentos Centrais de Distribuições Simétricas

Estou tentando mostrar que o momento central de uma distribuição simétrica: é zero para números ímpares. Então, por exemplo, o terceiro momento centralComecei tentando mostrar que Não sei para onde ir a partir daqui, alguma sugestão? Existe uma maneira melhor de provar isso?

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— user18262
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Dica: Para simplificar, assuma que

f

$f$ é simétrico em torno de

0

$0$ . Você pode então mostrar que

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$ dividindo a integral entre

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$ e

[0, \infty)

$[0,\infty)$ e usando a suposição de simetria. Então você só tem que mostrar que

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$ para

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$ . Isso pode ser feito novamente dividindo a integral e usando um argumento semelhante.

Mas, sugestão , tenha cuidado com a sugestão do @ Procrastinator (+1)! Caso contrário, você pode "provar" algo falso! Você precisa mostrar que cada parte da integral dividida é finita. (Se um é, o outro também deve ser.) #

— 02213 cardeal

Qual é a diferença entre

a

$a$ e

u

$u$ ?

— Henry

@DilipSarwate Por que você não captura todos esses pensamentos em uma resposta em vez de procurar minúcias em comentários que não pretendem ser respostas abrangentes?

@ Macro: Uma pena, realmente. O procrastinador agora se junta a uma lista de vários colaboradores muito valiosos (na minha opinião) que aparentemente perdemos nos últimos meses (ou que reduziram severamente sua atividade). No lado positivo, é muito bom ver seu recente aumento na participação! Espero que continue.

— cardeal

Esta resposta tem como objetivo fazer uma demonstração o mais elementar possível, porque essas coisas frequentemente chegam à idéia essencial. Os únicos fatos necessários (além do tipo mais simples de manipulação algébrica) são a linearidade da integração (ou, equivalentemente, da expectativa), a fórmula de mudança de variáveis para integrais e o resultado axiomático que um PDF integra à unidade.

Motivar esta demonstração é a intuição de que quando é simétrico em relação , a contribuição de qualquer quantidade para a expectativa terá o mesmo peso que a quantidade , porque e estão em lados opostos de e igualmente longe dele. Desde que para todo , tudo é cancelado e a expectativa deve ser zero. A relação entre e , então, é o nosso ponto de partida. $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

Observe, escrevendo , que a simetria também pode ser expressa pelo relacionamento $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

para todos . Para qualquer função mensurável , a alteração individual da variável de para altera para , enquanto inverte a direção da integração, implicando $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

Supondo que essa expectativa exista (ou seja, a integral converge), a linearidade da integral implica

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

Considere os momentos ímpares de , que são definidos como as expectativas de , . Nesses casos $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

precisamente porque é ímpar. A aplicação do resultado anterior fornece $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

Como o lado direito é duas vezes o ésimo momento sobre , dividir por mostra que esse momento é zero sempre que existe. $k$ $a$ $2$

Finalmente, a média (supondo que exista) é

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

Mais uma vez explorando a linearidade e lembrando que porque é uma distribuição de probabilidade, podemos reorganizar a última igualdade para ler $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

com a solução exclusiva . Portanto, todos os nossos cálculos anteriores de momentos sobre são realmente os momentos centrais, QED. $\mu_X = a$ $a$

Postword

A necessidade de dividir por em vários lugares está relacionada ao fato de que há um grupo de ordem atuando nas funções mensuráveis (ou seja, o grupo gerado pela reflexão na linha em torno de ). De um modo mais geral, a ideia de simetria pode ser generalizada para a ação de qualquer grupo. A teoria das representações de grupo implica que, quando o personagem $2$ $2$ $a$ dessa ação em uma função não é trivial, é ortogonal ao caracter trivial e isso significa que a expectativa da função deve ser zero. As relações de ortogonalidade envolvem adicionar (ou integrar) sobre o grupo, de onde o tamanho do grupo aparece constantemente nos denominadores: sua cardinalidade quando é finita ou seu volume quando é compacto.

A beleza dessa generalização se torna aparente em aplicações com simetria manifesta , como em equações mecânicas (ou mecânicas quânticas) de movimento de sistemas simétricos exemplificados por uma molécula de benzeno (que possui um grupo de simetria de 12 elementos). (O aplicativo QM é mais relevante aqui, porque calcula explicitamente as expectativas.) Valores de interesse físico - que geralmente envolvem integrais multidimensionais de tensores - podem ser calculados sem mais trabalho do que o envolvido aqui, simplesmente conhecendo os caracteres associados ao integrandos. Por exemplo, as "cores" de várias moléculas simétricas - seus espectros em vários comprimentos de onda - podem ser determinadas ab initio com essa abordagem.

— whuber
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(+1) Na seção que começa com "Considere os momentos ímpares de ...", acredito que a terceira linha deve ler .

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— precisa saber é o seguinte

@ Max Sim: Obrigado por ler com tanto cuidado! (Agora está corrigido.)

— whuber