Covariância de variáveis aleatórias transformadas

Eu tenho duas variáveis aleatórias $X > 0$ e $Y > 0$ .

Dado que eu posso estimar

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$ como posso estimar

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
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Esta questão passado perguntado sobre correlação em vez de covariância, mas é relacionada: stats.stackexchange.com/questions/35941/...

— Douglas Zare

Pode-se adotar a abordagem da expansão de Taylor:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Editar:

Tome , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Use expansão multivariada de Taylor para calcular uma aproximação a (de maneira semelhante ao exemplo no final de "Primeiro momento" no link que faz o caso mais simples de e use expansões univariadas para calcular aproximações a e (conforme fornecidas na primeira parte da mesma seção) com precisão semelhante. Com base nisso, calcule a covariância (aproximada). $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

Expandindo para um grau de aproximação semelhante ao exemplo no link, acho que você acaba com termos na média e variação de cada variável (não transformada) e sua covariância.

Edição 2:

Mas aqui está um pequeno truque que pode economizar algum esforço:

Note-se que e e . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Dado temos

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Edit: Esse último passo segue da aproximação de Taylor , o que é bom para pequeno (tomando $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ ). $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(essa aproximação é exata para , normal: $U$ $V$ ) $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Seja $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

e dado , então $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Editar:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

$\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Se você usasse a primeira aproximação em vez da segunda, obteria uma aproximação diferente aqui.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Poderia dar um pouco mais de detalhes, por favor? De qualquer forma, thx pela sugestão

— user7064

Editado para detalhes.

— Glen_b -Reinstala Monica

Obrigado @Glend_b. Aceitarei quando os detalhes serão adicionados. Enquanto isso, +1 :-)

— user7064

Não se preocupe; Eu estava ocupado na época, então esqueci totalmente. Agora corrigido

— Glen_b -Reinstar Monica

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
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