Localizando a distribuição de uma estatística

Estudando para um teste. Não foi possível responder a este.

Seja sejam iid variáveis aleatórias. Definir $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ $\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

e , $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Qual é a distribuição de , ? $\overline{W}_n$ $S_n^2$

Como faço para ter uma idéia do melhor método a ser usado ao iniciar um problema como este?

normal-distribution data-transformation

— Taylor
fonte

Deseja a distribuição para fixo ou a distribuição assintótica? Você está interessado nas distribuições marginais de e ou em sua distribuição conjunta?

n

$n$

{\bar{W}}_{n}

$\overline W_n$

S_{n}^{2}

$S_n^2$

— cardeal

Desculpe pela ambiguidade. Mantenha fixo, e eu só estou interessado em seus marginais. Eles perguntam mais tarde se as duas estatísticas são independentes, então estou antecipando algum uso do teorema de Basu.

n

$n$

— Taylor

É um truque.

Condicionalmente em , temos que é igual a Isso decorre do fato de que, para fixo, é uma transformação linear simples das duas variáveis independentes de e . Donde, tem uma distribuição normal. A média condicional é vista como 0 e a variação condicional é (pelas suposições de independência) $X_{3,i} = x$ $W_i$

\frac{X_{1, i} + X_{2, i} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \sim N (0, 1) .

$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$

x

$x$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

X_{1, i}

$X_{1,i}$

X_{2, i}

$X_{2,i}$

W_{i} ∣ X_{3, i} = x

$W_i \mid X_{3,i} = x$

V (W_{i} ∣ X_{3, i} = x) = \frac{V (X_{1, i}) + V (X_{2, i}) x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} = 1.

$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$

Como a distribuição condicional de não depende de , concluímos que também é sua distribuição marginal, ou seja, $W_i \mid X_{3,i} = x$ $x$ $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

O restante decorre dos resultados padrão sobre médias e resíduos para variáveis aleatórias normais independentes. O teorema de Basu não é necessário para nada.

— NRH
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muito impressionante!

— precisa saber é o seguinte

Bem localizado (+1). No entanto, para a distribuição conjunta de , o Teorema de Basu é de extrema relevância.

({\bar{W}}_{n}, S_{n}^{2})

$(\overline{W}_n,S_n^2)$

— MBE