Pergunta da entrevista da ameba

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Fiz essa pergunta durante uma entrevista para uma posição comercial com uma empresa comercial proprietária. Eu gostaria muito de saber a resposta a esta pergunta e a intuição por trás dela.

Pergunta da ameba: Uma população de amebas começa com 1. Após 1 período, a ameba pode se dividir em 1, 2, 3 ou 0 (pode morrer) com igual probabilidade. Qual é a probabilidade de que toda a população morra eventualmente?

probability

— AME
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devemos supor que cada um deles tenha probabilidade de ?

1 / 4

$1/4$

— shabbychef

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do ponto de vista biológico, essa chance é 1. O ambiente deve mudar para um ponto em que nenhuma população pode sobreviver, dado que em x bilhões de anos o sol deve explodir. Mas acho que essa não é realmente a resposta que ele estava procurando. ;-) A questão também não faz sentido. Uma ameba só pode se dividir em 2 ou 0. Moral: os comerciantes não devem fazer perguntas sobre biologia.

— Joris Meys

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Tal pergunta na entrevista para tal posição? Talvez seja algo como dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 ?

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Essa é uma pergunta fofa, como Mike menciona. A intuição aqui é que a eventual probabilidade de sobrevivência / extinção é a mesma entre duas gerações. Uma versão mais criativa poderia ser pensada quando a probabilidade de sobrevivência em si varia em função do número de amebas presentes. Adicionei-o ao blog do meu site.

— Broccoli

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1) As amebas se reproduzem por mitoses binárias. 2) As amebas não se reproduzem em figuras mitóticas anormais, por exemplo, tempos 3, se isso fosse visto, seria letal. 4) Fazer perguntas durante uma entrevista que provocam viés de confirmação geralmente são consideradas de baixa qualidade. Conselho; você pode não querer esse trabalho.

— 11248 Carl

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Problema bonitinho. Esse é o tipo de coisa que os probabilistas fazem em suas cabeças por diversão.

A técnica é assumir que existe uma tal probabilidade de extinção, chamá-lo de . Então, olhando para uma árvore de decisão profunda para os possíveis resultados que vemos - usando a Lei da Probabilidade Total - que $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

assumindo que, nos casos de 2 ou 3 "filhotes", suas probabilidades de extinção sejam IID. Essa equação tem duas raízes possíveis, e . Alguém mais inteligente que eu pode ser capaz de explicar por que o não é plausível. $1$ $\sqrt{2}-1$ $1$

Os trabalhos devem estar ficando difíceis - que tipo de entrevistador espera que você resolva equações cúbicas na sua cabeça?

— Mike Anderson
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A razão pela qual 1 não é uma raiz é facilmente vista ao considerar o número esperado de ameba após etapas, chame-a de . Pode-se mostrar facilmente que . Como a probabilidade de cada resultado é temos e, portanto, cresce sem limites em . Isso claramente não corresponde a .

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— shabbychef

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@shabbychef Não é tão óbvio para mim. Você pode fazer com que a expectativa cresça exponencialmente (ou até mais rapidamente), enquanto a probabilidade de morrer ainda se aproxima da unidade. (Por exemplo, considere um processo estocástico no qual a população quadruplica em cada geração ou morre completamente, cada uma com chances iguais. A expectativa na geração n é 2 ^ n, mas a probabilidade de extinção é 1.) Portanto, não há contradição; seu argumento precisa de algo adicional.

— whuber

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@shabbychef - obrigado pela edição. Eu não sabia que poderíamos usar TeX incorporado para matemática! @whuber - a afirmação de shabbychef é apenas uma variação da minha afirmação sobre a probabilidade de extinção, basta adicionar expectativas em vez de multiplicar probabilidades. Bom trabalho, shab.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— Mike Anderson

11

Está claro, Mike, mas qual é o seu ponto? Não estamos falando sobre como descartar 1 como solução? A propósito, é óbvio (pela inspeção e / ou pela compreensão do problema) que 1 será uma solução. Isso reduz a uma equação quadrática que se pode resolver facilmente no local. Normalmente, esse não é o objetivo de uma pergunta de entrevista. O solicitante provavelmente está tentando ver o que o solicitante sabe ativamente sobre processos estocásticos, movimento browniano, cálculo Ito etc., e como eles resolvem problemas, não se conseguem resolver essa questão em particular.

— whuber

3

@shabbychef: Uma maneira de descartar P = 1 é estudar a evolução da função geradora de probabilidade. O pgf é obtido começando com t (representando uma população inicial de 1) e substituindo iterativamente t por (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4. Para qualquer valor inicial de t menor que 1, um gráfico mostra facilmente que as iterações convergem para Sqrt (2) -1. Em particular, o pgf fica longe de 1, mostrando que não pode convergir para 1 em todos os lugares, o que representaria extinção completa. É por isso que "o 1 não é plausível".

— whuber

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Parte do cálculo do envelope (literalmente - eu tinha um envelope em cima da mesa) me dá uma probabilidade de 42/111 (38%) de nunca atingir uma população de 3.

Fiz uma rápida simulação em Python, vendo quantas populações haviam morrido por 20 gerações (altura em que elas geralmente morriam ou estão na casa dos milhares) e consegui 4164 mortos em 10000 execuções.

Então a resposta é 42%.

— Emile
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9

é 0,4142, portanto está de acordo com o resultado analítico de Mike. E +1, porque eu como simulações ;-)

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$

2

Também +1 porque gosto de simulações. Qual teria sido a minha resposta;).

— fomite

7

Isso parece relacionado ao processo de Galton Watson , originalmente formulado para estudar a sobrevivência de sobrenomes. A probabilidade depende do número esperado de sub-amebas após uma única divisão. Neste caso, o número esperado é que é maior do que o valor crítico de , e, portanto, a probabilidade de extinção é menor do que . $3/2,$ $1$ $1$

Considerando o número esperado de ameba após divisões, pode-se mostrar facilmente que, se o número esperado após uma divisão for menor que , a probabilidade de extinção é . A outra metade do problema, não tenho tanta certeza. $k$ $1$ $1$

— shabbychef
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Como a resposta de Mike Anderson diz que você pode equiparar a probabilidade de uma linhagem de uma ameba se extinguir com uma soma de probabilidades da linhagem das crianças se extinguir.

p_{p uma r e n t} = \frac{1 1}{4} p_{c h Eu eu d}^{3} + \frac{1 1}{4} p_{c h Eu eu d}^{2} + \frac{1 1}{4} p_{c h Eu eu d} + \frac{1 1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Então, quando você define a probabilidade de pais e filhos iguais para a linhagem deles se extinguir, obtém a equação:

p = \frac{1 1}{4} p^{3} + \frac{1 1}{4} p^{2} + \frac{1 1}{4} p + \frac{1 1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

que tem raízes $p=1$ , $p=\sqrt{2}-1$ , e $p=-\sqrt{2}-1$ .

A questão que permanece é por que a resposta deve ser $p=\sqrt{2}-1$ e não $p=1$ . Por exemplo, isso é solicitado nesta pergunta duplicada daentrevista da ameba: O P (N = 0) é 1 ou 1/2? . Emresposta a partir shabbychefé explicado que se pode olhar, $E_k$ , o valor esperado do tamanho da população após o $k$ -ésimo de divisão, e ver se ele é ou encolhendo ou crescendo.

Para mim, há alguma indireta na argumentação por trás disso e parece que não está completamente provado.

Por exemplo, em um dos comentários Whuber notas que você pode ter uma crescente valor esperado $E_k$ e também tem a probabilidade de extinção no $k$ -ésimo abordagem passo 1. Como um exemplo, você poderia introduzir um evento catastrófico que apaga toda a ameba população e ocorre com alguma probabilidade $x$ em cada etapa. Então é quase certo que a linhagem da ameba morra. No entanto, a expectativa do tamanho da população na etapa $k$ está crescendo.
Além disso, a resposta deixa em aberto o que devemos pensar da situação quando $E_k = 1$ (por exemplo, quando uma ameba se divide ou não se divide com probabilidade igual a 50%, então a linhagem de uma ameba se extingue com probabilidade quase $1$ evento $E_k= 1$ )

Derivação alternativa.

Observe que a solução $p=1$ pode ser uma verdade vazia . Igualamos a probabilidade de a linhagem dos pais se extinguir à linhagem da criança se extinguir.

Se 'a probabilidade de extinção da linhagem da criança for igual a $1$ '.
Então 'a probabilidade da linhagem dos pais se extinguir é igual a $1$ '.

Mas isso não significa que é verdade que "a probabilidade de extinção da linhagem da criança é $1$ ". Isso é especialmente claro quando sempre haveria um número diferente de zero de filhotes. Por exemplo, imagine a equação:

p = \frac{1 1}{3} p^{3} + \frac{1 1}{3} p^{2} + \frac{1 1}{3} p

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

Poderíamos chegar a uma solução de uma maneira um pouco diferente?

$p_k$ $k$

p_{1 1} = \frac{1 1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

e a relação de recorrência

p_{k + 1 1} = \frac{1 1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1 1}{4} p_{k}^{2} + \frac{1 1}{4} p_{k} + p_{1 1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

ou

δ_{k} = p_{k + 1 1} - p_{k} = \frac{1 1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1 1}{4} p_{k}^{2} - \frac{3}{4} p_{k} + p_{1 1} = f (p_{k})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

$f(p_k)>1$ $k$ $k$

Convergência com a raiz e a relação com o valor esperado

$f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

$f(p_k)$ $-1$ $0\leq p \leq 1$ $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

f^{'} (p) = - 1 1 + \sum_{k = 1 1}^{\infty} {uma}_{k} k p^{k - 1 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

— Sextus Empiricus
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