Média de rebatidas bayesianas antes

Eu queria fazer uma pergunta inspirada em uma excelente resposta à pergunta sobre a intuição para a distribuição beta. Eu queria entender melhor a derivação da distribuição anterior da média de rebatidas. Parece que David está fazendo o backup dos parâmetros da média e do intervalo.

Supondo que a média seja $0.27$ e o desvio padrão seja $0.18$ , você pode retirar $\alpha$ e $\beta$ resolvendo estas duas equações:

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Dimitriy V. Masterov
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Honestamente, eu apenas continuei representando graficamente os valores em R até que parecesse correto.

— David Robinson

onde você obtém o desvio padrão para 0,18?

— appleLover

Como você chegou a esse desvio padrão? Você sabia disso com antecedência?

— Maria Lavrovskaya 12/06

Respostas:

Notar que:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Isso significa que a variação pode, portanto, ser expressa em termos da média como

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Se você deseja uma média de $.27$ e um desvio padrão de $.18$ (variação $.0324$ ), basta calcular:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Agora que você sabe o total, $\alpha$ e $\beta$ são fáceis:

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Você pode verificar esta resposta em R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— David Robinson
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David, você segue alguma pesquisa de beisebol? Existem várias técnicas concorrentes disponíveis para encontrar o

adequado , então eu queria saber se você tem alguma opinião sobre o assunto se está fazendo algo além de apenas tentar encontrar um gráfico que pareça razoável.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Michael McGowan

Eu particularmente não sigo a sabre- métrica - na outra resposta, isso acabou por fornecer um exemplo muito conveniente de estimar p de um binômio com um anterior. Eu nem sei se é assim que é feito na sabre- métrica e, se for, sei que há muitos componentes que deixei de fora (jogadores com antecedentes diferentes, ajustes de estádio, ponderando hits recentes sobre os antigos ...)

— David Robinson

Estou impressionado que seu olhar foi tão preciso.

— Dimitriy V. Masterov

Oi David, como você obtém esses valores de

para seus valores oculares no post vinculado de 81 e 219, respectivamente?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

— 2828 Alex

@Alex A variação solicitada e o desvio padrão vêm da pergunta acima, que solicitou um SD de 0,18, não a publicação da distribuição beta. Se eu estivesse a calcular em vez de eyeballing eu poderia ter imaginado um cartão SD de algo como 0,03, o que teria dado valores de 59 e 160.

— David Robinson

Queria adicionar isso como um comentário sobre a excelente resposta, mas demorou muito e ficará melhor com a formatação da resposta.

Algo a ter em mente é que nem todos são possíveis. Está claro , mas não tão claras são as limitações para . $(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Usando o mesmo raciocínio que Davi, podemos expressar

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

Isso está diminuindo em relação a , então o maior pode ser para um dado é: $\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

Este é apenas um supremo, uma vez que o conjunto de válido está aberto (ou seja, para Beta, devemos ter ); esse limite é ele próprio maximizado em $\alpha$ $\alpha > 0$ . $\mu = \frac12$

Observe o relacionamento com um VR Bernoulli correspondente. A distribuição Beta com média , uma vez que é forçada a assumir todos os valores entre 0 e 1, deve ser menos dispersa (ou seja, ter menor variação) do que o VR de Bernoulli com a mesma média (que tem toda a sua massa no final de o intervalo). De fato, enviando para 0 e corrigindo $\mu$ $\alpha$ equivale a colocar cada vez mais a massa do PDF perto de 0 e 1, ou seja, aproximando-se de uma distribuição de Bernoulli, razão pela qual o supremo da variação é exatamente a variação correspondente de Bernoulli. $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

Em conjunto, eis o conjunto de médias e variações válidas para o Beta:

(Na verdade, isso é observado na página da Wikipedia para Beta )

— MichaelChirico
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