Por que o teste de McNemar usa o qui-quadrado e não a distribuição normal?

Acabei de notar como o teste não exato de McNemar usa a distribuição assintótica do quadrado do qui. Mas como o teste exato (para a tabela de dois casos) se baseia na distribuição binomial, como é comum sugerir a aproximação normal à distribuição binomial?

Obrigado.

— Tal Galili
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Uma resposta quase intuitiva:

Dê uma olhada na fórmula do teste de McNemar, dada a tabela

      pos | neg
----|-----|-----
pos |  a  |  b
----|-----|-----
neg |  c  |  d

A estatística McNemar Mé calculada como:

M = \frac{(b - c)^{2}}{b + c}

$M = {(b-c)^2 \over b+c}$

A definição de uma com k graus de liberdade é que ela consiste na soma dos quadrados de k variáveis normais padrão independentes. se os 4 números forem grandes o suficiente e , portanto, e puderem ser aproximados por uma distribuição normal. Dada a fórmula para M, é fácil ver que com valores suficientemente grandes seguirá aproximadamente uma com 1 grau de liberdade. $\chi^2$ bcb-cb+cM $\chi^2$

EDIT: Como indicado no início, a aproximação normal é de fato completamente equivalente. Isso é trivial, dado o argumento usando a aproximação da b-cdistribuição normal.

A versão binomial exata também é equivalente ao teste de sinal, no sentido de que nesta versão a distribuição binomial é usada para comparar bcom o . Ou podemos dizer que, sob a hipótese nula, a distribuição de b pode ser aproximada por . $Binom(b+c,0.5)$ $N(0.5\times(b+c),0.5^2\times(b+c)$

Ou equivalente:

\frac{b - (\frac{b + c}{2})}{\frac{\sqrt{b + c}}{2}} \sim N (0, 1)

$\frac{b-(\frac{b+c}{2})}{\frac{\sqrt{b+c}}{2}}\sim N(0,1)$

o que simplifica a

\frac{b - c}{\sqrt{b + c}} \sim N (0, 1)

$\frac{b-c}{\sqrt{b+c}}\sim N(0,1)$

ou, quando tomado o quadrado de ambos os lados, para . $M \sim \chi^2_1$

Portanto, a aproximação normal é usada. É o mesmo que a aproximação . $\chi^2$

— Joris Meys
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Está certo. Talvez a conexão possa ser vista mais claramente considerando Sqrt (M) = (bc) / Sqrt (b + c). Aproximando a variação de b como be a variação de c como c (como é habitual com dados contados), vemos que Sqrt (M) se parece com uma variável aproximadamente normal (bc) dividida por seu desvio padrão: em outras palavras, parece uma variável normal padrão . De fato, poderíamos realizar um teste equivalente referindo Sqrt (M) a uma tabela da distribuição normal padrão. Esquadrar efetivamente torna o teste simétrico de duas caudas. Obviamente, isso quebra se b ou c for pequeno.

— whuber

Obrigado pela resposta intuitiva Joris. Ainda assim, por que é mais comum usar essa aproximação do que usar a aproximação normal para o teste binomial exato de McNemar?

— precisa

@ Tal: É o mesmo. Veja a resposta sem parar e minha edição.

— precisa

Na verdade - última pergunta. Então, se os dois são idênticos (e acho que você também pode precisar de um "valor absoluto" em torno do aC), então por que as pessoas vão para a distribuição chi em vez de ficar com a normal? Onde está a vantagem?

— precisa

@ Tal: Você sabe que R. traça o chi2 com um grau de liberdade, verá.

— Joris Meys

As duas abordagens não chegarão à mesma coisa? A distribuição qui-quadrado relevante tem um grau de liberdade, assim como simplesmente a distribuição do quadrado de uma variável aleatória com uma distribuição normal padrão. Eu teria que examinar a álgebra para verificar, o que não tenho tempo para fazer agora, mas ficaria surpreso se você não terminar exatamente com a mesma resposta nos dois sentidos.

— uma parada
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veja minha resposta para uma elaboração mais aprofundada

— Joris Meys

Oi onestop - Como os dois são assintóticos, os N's menores podem gerar resultados um pouco diferentes. Nesse caso, eu me pergunto se a escolha de ir com o qui-quadrado é porque é melhor do que a aproximação normal, ou por razões históricas (ou talvez, como você sugeriu - elas sempre produzem resultados idênticos)

— Tal Galili

@ Tal: para N menor, nenhum dos dois espera. E, como mostrado na minha edição, eles são exatamente os mesmos.

— precisa