Como encontrar a distribuição marginal da distribuição conjunta com dependência multivariável?


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Um dos problemas no meu livro é apresentado da seguinte maneira. Um vetor contínuo estocástico bidimensional tem a seguinte função de densidade:

fX,Y(x,y)={15xy2if 0 < x < 1 and 0 < y < x0otherwise

Mostre que as funções de densidade marginal e são:f YfXfY

fX(x)={5x4if 0 < x < 10otherwise

fY(y)={152y2(1y2)if 0 < y < 10otherwise

Eu entendo como a função de densidade é calculada, integrando de a em relação a . No entanto, estou totalmente perdido em , de onde vem o ? Se eu integrar de a em relação a , apenas recebo , e por que o intervalo é ?f X , Y 0 x y f Y ( 1 - y 2 ) 0 1 x 15fXfX,Y0xyfY(1y2)01x0<y<1152y20<y<1

Eu representei graficamente o suporte para X,Y , todos os valores em que fX,Y>0 são coloridos em azul:

O suporte para $ X, Y $


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Pode ajudá-lo a desenhar o suporte de (que é o conjunto de para o qual ). Isso deve responder imediatamente a algumas de suas perguntas. ( x , y ) f ( x , y ) 0(X,Y)(x,y)f(x,y)0
whuber

@whuber Ok, então eu tenho representado graficamente o suporte e acho que entendo por que é 0 <y <1, é porque x é definido apenas em 0 <x <1 e, como 0 <y <x, então naturalmente temos que y é apenas definido de 0 a 1, correto? Mas ainda não entendo a parte (1-y ^ 2).
usar o seguinte comando

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Dica: A densidade marginal de é a integral de que, para um valor fixo de , , é diferente de zero apenas para aqueles satisfazem . Ou seja, e é aí que parte vem. f X , Y ( x , y ) y 0 < y < 1 x y < x < 1 f Y ( y ) = - f X , Y ( x , y ) d x = 1 y 15 x y 2 d x ( 1 - yfY(y)fX,Y(x,y)y0<y<1xy<x<1
fY(y)=fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx
(1y2)
usar o seguinte código

Obrigado pela dica Dilip, eu tenho medo de não entender completamente. ".. para um valor fixo de , , é diferente de zero apenas para aqueles satisfazendo ." Você está se referindo à área azul no gráfico? 0 < y < 1 x y < x < 1y0<y<1xy<x<1
precisa saber é o seguinte

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@ soren.qvist Sim. Estou me referindo à área azul no gráfico. é a integral (área sob a curva) de uma função de que tem valor se estiver entre e (a área azul) e caso contrário. Repita o para outros valores fixos de e observe que sempre que o valor numérico de o mesmo número que o obtido pela "inserção" do valor escolhido de na expressãox ( 15 ( 0,4 ) 2 ) x = 2,4 x x 0,4 1 0 y f Y ( y ) y f Y ( y ) f Y ( y )fY(0.4)x(15(0.4)2)x=2.4xx0.410yfY(y)yfY(y)conforme indicado na sua folha de respostas. Então, vem o "Hey Ma, acho que vejo um padrão!" momento e você percebe que é igual à integral mostrada. fY(y)
precisa saber é o seguinte

Respostas:


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Como você apontou corretamente na sua pergunta, é calculada integrando a densidade da junta, em relação a X. A parte crítica aqui é identificar a área em que você integrar. Você já mostrou claramente graficamente o suporte da função de distribuição conjunta . Portanto, agora, você pode observar que o intervalo de na região sombreada é de a (ou seja, graficamente, você pode visualizar linhas horizontais, paralelas ao eixo x, indo da linha diagonal para a linha vertical em ).fY(y)fX,Y(x,y)fX,Y(x,y)XX=yX=1Y=XX=1

Assim, os limites inferior e superior da integração vão ser e . Portanto, a solução para o problema é a seguinte: X=yX=1

fY(y)=y1fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx=15y2y1xdx=15y2(12x2|y1)=152y2(1y2).
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