Diferença de variáveis aleatórias gama

Dadas duas variáveis aleatórias independentes e , qual é a distribuição da diferença, ou seja, ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Se o resultado não for bem conhecido, como eu derivaria o resultado?

distributions gamma-distribution

— FBC
fonte

Eu acho que pode ser relevante: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

Infelizmente não relevante, esse post considera a soma ponderada das variáveis aleatórias Gamma, onde os pesos são estritamente positivos. No meu caso, os pesos seriam +1 e -1, respectivamente.

— FBC 23/01

O artigo de Moschopoulos afirma que o método pode ser estendido a combinações lineares, mas você está certo de que o reescalonamento parece estar restrito a pesos maiores que 0. Sou corrigido.

— Dimitriy V. Masterov 23/01

Há pouca esperança de derivar algo simples ou de forma fechada, a menos que os dois fatores de escala sejam os mesmos.

— whuber

Apenas uma pequena observação: para o caso especial de RVs exponencialmente distribuídos com o mesmo parâmetro, o resultado é Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

Vou descrever como o problema pode ser abordado e declarar qual será o resultado final para o caso especial quando os parâmetros de forma forem inteiros, mas não preencher os detalhes.

Primeiro, observe que assume valores em e, portanto, tem suporte . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
Segundo, a partir dos resultados padrão, a densidade da soma de duas variáveis aleatórias contínuas independentes é a convolução de suas densidades, isto é, e que a densidade da variável aleatória seja , deduza que
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Terceiro, para variáveis aleatórias não negativas e , observe que a expressão acima simplifica para $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Finalmente, usando a parametrização para significar uma variável aleatória com densidade e com variáveis aleatórias e , temos para que Da mesma forma, para , $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

Essas integrais não são fáceis de avaliar, mas para o caso especial , Gradshteyn e Ryzhik, Tabelas de integrais, séries e produtos, Seção 3.383, lista o valor de em termos de funções polinomiais, exponenciais e de Bessel de e isso pode ser usado para escrever expressões explícitas para . $s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

A partir de agora, assumimos que e são inteiros, de $s$ $t$ modo que é um polinômio em e de grau e é um polinômio em e de grau . $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

Para , a integral é a soma das integrais de Gamma em relação a com os coeficientes . Daqui resulta que a densidade de é proporcional a uma densidade de mistura de variáveis aleatórias para . Observe que esse resultado será válido mesmo que não seja um número inteiro. $z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
Da mesma forma, para , a densidade de é proporcional a uma densidade de mistura de variáveis aleatórias invertidas invertidas além disso, ele terá termos como vez do usual . Além disso, esse resultado será mantido mesmo se não for um número inteiro. $z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
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+1: Tendo analisado esse problema antes, acho esta resposta fascinante.

— 28413 Neil G

Vou aceitar esta resposta, mesmo que pareça não haver uma solução de formulário fechado. É o mais perto possível, obrigado!

— FBC

Eu amo o raciocínio aqui, mas estou me perguntando se existe alguma medida em que o segundo passo seja interrompido, ou seja, ?

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

— mpacer

@mpacer Não, sempre é válido. É um resultado geral que não requer nenhuma premissa (normalidade, gama -idade, RV positivo etc.). Para o caso especial de uma variável aleatória positiva (ou seja, ), é uma variável aleatória negativa que assume valores menores que com probabilidade .

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

— precisa saber é o seguinte

@mpacer Se é uma variável aleatória positiva com densidade , então não é verdade que está definido para . De fato, é definido como tendo valor para . Assim, para todos os números positivos , e a densidade de é a densidade de "invertida" em relação à origem (ou eixo vertical se você prefere.) Não estou "interpretando" o

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$ operador de forma diferente, é você que está exigindo uma "apropriado" noção de que irá apoiar a sua ideia de que o domínio da é única

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

— Dilip Sarwate

Que eu saiba, a distribuição da diferença de dois gamma rv independentes foi estudada pela primeira vez por Mathai em 1993. Ele derivou uma solução de forma fechada. Não reproduzirei o trabalho dele aqui. Em vez disso, vou apontar para a fonte original. A solução de formulário fechado pode ser encontrada na página 241, como o teorema 2.1 de seu artigo sobre Laplacianismo generalizado não central de formas quadráticas em variáveis normais .

— Nathan Crock
fonte

Diferença de variáveis ​​aleatórias gama

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