Acabei de jogar um jogo com meus filhos que basicamente se resume a: quem joga todos os números pelo menos uma vez em um dado de 6 lados ganha.
Ganhei, eventualmente, e os outros terminaram 1-2 turnos depois. Agora estou me perguntando: qual é a expectativa da duração do jogo?
Eu sei que a expectativa do número de jogadas até você atingir um número específico é .
No entanto, tenho duas perguntas:
- Quantas vezes você precisa rolar um dado de seis lados até obter todos os números pelo menos uma vez?
- Entre quatro tentativas independentes (ou seja, com quatro jogadores), qual é a expectativa do número máximo de jogadas necessário? [nota: é o máximo, não o mínimo, porque na idade deles, trata-se mais de terminar do que de chegar primeiro para os meus filhos]
Posso simular o resultado, mas me pergunto como procederia para calculá-lo analiticamente.
Aqui está uma simulação de Monte Carlo no Matlab
mx=zeros(1000000,1);
for i=1:1000000,
%# assume it's never going to take us >100 rolls
r=randi(6,100,1);
%# since R2013a, unique returns the first occurrence
%# for earlier versions, take the minimum of x
%# and subtract it from the total array length
[~,x]=unique(r);
mx(i,1)=max(x);
end
%# make sure we haven't violated an assumption
assert(numel(x)==6)
%# find the expected value for the coupon collector problem
expectationForOneRun = mean(mx)
%# find the expected number of rolls as a maximum of four independent players
maxExpectationForFourRuns = mean( max( reshape( mx, 4, []), [], 1) )
expectationForOneRun =
14.7014 (SEM 0.006)
maxExpectationForFourRuns =
21.4815 (SEM 0.01)