Objetivo da função de ligação no modelo linear generalizado

Qual é o objetivo da função de link como um componente do modelo linear generalizado? Por que precisamos disso?

A Wikipedia afirma:

Pode ser conveniente corresponder o domínio da função de link ao intervalo da média da função de distribuição

Qual é a vantagem de fazer isso?

AJ Dobson apontou as seguintes coisas em seu livro :

1. A regressão linear assume que a variável de resposta é normalmente distribuída. Modelos lineares generalizados podem ter variáveis ​​de resposta com distribuições diferentes da distribuição Normal - eles podem até ser categóricos em vez de contínuos. Portanto, eles podem não variar de a + ∞ .$-\infty$$+\infty$

2. A relação entre a resposta e as variáveis ​​explicativas não precisa ser da forma linear simples.

É por isso que precisamos da função link como um componente do modelo linear generalizado. Ele liga a média da variável dependente , que é de E ( Y i ) = μ i para o termo linear x t i β de tal forma que a gama da média não-linearmente transformado g ( μ i ) varia desde - ∞ a + ∞ . Assim, você pode realmente formar uma equação linear g ( μ i ) = x T i$Y_i$$E(Y_i)=\mu_i$$x_i^T\beta$$g(\mu_i)$$-\infty$$+\infty$$g(\mu_i)$$x_i^T\beta$ e use um método de mínimos quadrados com ponderação iterativa para estimativa de máxima verossimilhança dos parâmetros do modelo.

Pode ajudar você a ler minha resposta aqui: Diferença entre os modelos logit e probit , que discute os links GLiM de maneira um tanto extensiva.

$p$

$X$$p=.5$$\hat p_{x_i}$$\alpha$