Teorema do limite central e lei de grandes números

Tenho uma pergunta muito iniciante sobre o Teorema do Limite Central (CLT):

Estou ciente de que o CLT afirma que uma média de variáveis aleatórias iid é aproximadamente normal distribuída (para , onde é o índice dos summands) ou a variável aleatória padronizada teria uma distribuição normal padrão. $n \to \infty$ $n$

Agora, a Lei do Grande Número afirma, grosso modo, que a média das variáveis aleatórias iid converge (em probabilidade ou quase com certeza) para o valor esperado.

O que não entendo é: se, como afirma o CLT, a média é distribuída aproximadamente normalmente, como então também pode convergir para o valor esperado ao mesmo tempo?

A convergência implicaria para mim que, com o tempo, a probabilidade de a média assumir um valor que não seja o valor esperado é quase zero; portanto, a distribuição não seria realmente normal, mas quase zero em todos os lugares, exceto no valor esperado.

Qualquer explicação é bem vinda.

— Pegah
fonte

A chave da resposta está no local em que a palavra "padronizado" aparece na sua pergunta.

— whuber

Sinto muito, mas não sei se entendi.

— Pegah

Dica: um teorema é sobre que possui variação , o outro sobre que possui variação .

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— precisa saber é o seguinte

O Teorema do Limite Central é sobre a jornada e a Lei Forte dos Grandes Números é sobre o destino.

— cardeal

Esta figura mostra as distribuições das médias de (azul), (vermelho) e (ouro) distribuições normais independentes e identicamente distribuídas ( iid ) (de variação unitária e média ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Três PDFs sobrepostos

À medida que aumenta, a distribuição da média se torna mais "focada" em . (O senso de "foco" é facilmente quantificado: dado qualquer intervalo aberto fixo redor , a quantidade da distribuição dentro de aumenta com e tem um valor limitador de ) $n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

No entanto, quando padronizamos essas distribuições, redimensionamos cada uma delas para ter uma média de e uma variação de unidade: elas são todas iguais então. É assim que vemos que, embora os PDFs dos meios em si estejam aumentando para cima e concentrando-se em , no entanto, cada uma dessas distribuições ainda tem uma forma Normal , mesmo que sejam individualmente diferentes. $0$ $\mu$

O Teorema do Limite Central diz que quando você começar com qualquer distribuição - não apenas uma distribuição normal - que tem uma variância finita, e jogar o mesmo jogo com meios de valores iid como aumenta, você vê a mesma coisa: a média as distribuições se concentram em torno da média original (a Lei Fraca de Grandes Números), mas as distribuições médias padronizadas convergem para uma distribuição Normal padrão (o Teorema do Limite Central). $n$ $n$

— whuber
fonte

@ whuber resposta muito boa, vou apreciar algumas explicações sobre o que entendemos pela Lei Fraca do Grande Número.

— Subhash C. Davar

@subhash Consulte en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— whuber