Como encontrar variação entre pontos multidimensionais?

Suponha que eu tenha uma matriz X que é n por p, ou seja, tem n observações, com cada observação no espaço p-dimensional.

Como encontro a variação dessas n observações?

No caso em que p = 1, só preciso usar a fórmula de variação regular. E os casos em que p> 1.

variance

— statnub
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Para uma variável aleatória dimensional , temos a seguinte definição da variação: $p$ $X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

V a r (X) = E [(X - E X) {(X - E X)}^{⊺}] = (\begin{matrix} V a r (X_{1}) & \dots & C o v (X_{1}, X_{p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C o v (X_{p}, X_{1}) & \dots & V a r (X_{p}) \end{matrix})

$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$

Ou seja, a variação de um vetor aleatório é definida como a matriz que armazena todas as variações na diagonal principal e as covariâncias entre os diferentes componentes nos outros elementos. A matriz de covariância amostra seria então calculada inserindo os análogos da amostra para as variáveis populacionais: $p \times p$

\frac{1}{n - 1} (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1})}^{2} & \dots & \sum_{i = 1}^{n} (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{i = 1}^{n} (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) & \dots & \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p})}^{2} \end{matrix})

$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$ onde denota a ésima observação do recurso e a média da amostra do

X_{i j}

${X_{ij}}$

i

$i$

j

$j$

{\bar{X}}_{\cdot j}

${{\bar X}_{ \cdot j}}$

j

$j$ th característica. Em resumo, a variação de um vetor aleatório é definida como a matriz que contém as variações e covariâncias individuais. Portanto, basta calcular as variações e covariâncias da amostra para todos os componentes do vetor individualmente.

— Philipp Burckhardt
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