Como você calcula a expectativa de

Se $X_i$ é distribuído exponencialmente $(i=1,...,n)$ com o parâmetro $\lambda$ e $X_i$ 's são independentes entre si, o que é a expectativa de

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

em termos de $n$ e $\lambda$ e possivelmente outras constantes?

Nota: Esta pergunta obteve uma resposta matemática em /math//q/12068/4051 . Os leitores também dariam uma olhada.

expected-value exponential gamma-distribution

— Isaac
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As duas cópias desta pergunta fazem referência uma à outra e, apropriadamente, o site de estatísticas (aqui) possui uma resposta estatística e o site de matemática possui uma resposta matemática. Parece uma boa divisão: deixe estar!

— whuber

Respostas:

Se , em seguida, (sob a independência), , então é distribuído gama (ver Wikipedia ). Então, só precisamos de . Como $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ , sabemos que . Portanto, (consulte aWikipediapara obter as expectativas e as variações da distribuição gama). $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— Wolfgang
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Obrigado. Uma maneira muito clara de responder à pergunta (levando à mesma resposta) também foi fornecida no math.stackexchange (link acima na pergunta) alguns minutos atrás.

— Wolfgang

A resposta matemática calcula as integrais usando linearidade de expectativa. De certa forma, é mais simples. Mas eu gosto da sua solução porque ela explora o conhecimento estatístico : porque você sabe que uma soma de variáveis exponenciais independentes tem uma distribuição gama, está pronto.

— whuber

Gostei bastante e não sou de forma alguma um estatístico ou um matemático.

— Kortuk

resposta muito elegante.

— Cyrus S

@Dilip O matemático tende a ver essa pergunta pedindo uma integral e passa diretamente para integrá-la. O estatístico reexpressa-o em termos de quantidades estatísticas familiares, como a variação e as relações estatísticas familiares, como que o exponencial é gama e a família gama é fechada por convolução. As respostas são as mesmas, mas as abordagens são completamente diferentes. Depois, há a questão do que "fazer uma integração" realmente significa. Por exemplo, essa integral complicada é feita puramente algebricamente.

— whuber

A resposta acima é muito boa e responde completamente à pergunta, mas, em vez disso, fornecerei uma fórmula geral para o quadrado esperado de uma soma e a aplicarei ao exemplo específico mencionado aqui.

Para qualquer conjunto de constantes é um facto $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

this is true by the Distributive property and becomes clear when you consider what you're doing when you calculate $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$ by hand.

Therefore, for a sample of random variables $X_1, ..., X_n$ , regardless of the distributions,

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

desde que essas expectativas existam.

$X_1, ..., X_n$ are iid ${\rm exponential}(\lambda)$ random variables, which tells us that $E(X_{i}) = 1/\lambda$ and ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ for each $i$ . By independence, for $i \neq j$ , we have

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

There are $n^2 - n$ of these terms in the sum. When $i = j$ , we have

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

and there are $n$ of these term in the sum. Therefore, using the formula above,

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

is your answer.

— Macro
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This problem is just a special case of the much more general problem of 'moments of moments' which are usually defined in terms of power sum notation. In particular, in power sum notation:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Then, irrespective of the distribution, the original poster seeks $E[s_1^2]$ (provided the moments exist). Since the expectations operator is just the 1st Raw Moment, the solution is given in the mathStatica software by:

[ The '___ToRaw' means that we want the solution presented in terms of raw moments of the population (rather than say central moments or cumulants). ]

Finally, if $X$ ~ Exponential( $\lambda$ ) with pdf $f(x)$ :

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

then we can replace the moments $\mu_i$ in the general solution sol with the actual values for an Exponential random variable, like so:

All done.

P.S. The reason the other solutions posted here yield an answer with $\lambda^2$ in the denominator rather than the numerator is, of course, because they are using a different parameterisation of the Exponential distribution. Since the OP didn't state which version he was using, I decided to use the standard distribution theory textbook definition Johnson Kotz et al … just to balance things out :)

— wolfies
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