Reconciliando notações para modelos mistos

Estou familiarizado com notações como:

onde, e

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

ondee

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

para um modelo de interceptações aleatórias e uma inclinação aleatória + modelo de interceptações aleatórias, respectivamente.

Eu também me deparei com essa notação de matriz / vetor, que me disseram que é "notação de modelo misto para adultos" (de acordo com meu irmão mais velho):

onde são os efeitos fixos são os efeitos aleatórios.

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

Se entendi corretamente, a última notação é uma notação mais geral para a primeira, que são versões específicas da última.

Gostaria de ver como o primeiro pode ser derivado do último.

mixed-model mathematical-statistics

— Joe King
fonte

Você está perguntando sobre uma explicação da notação matricial? A razão pela qual pergunto é que essa pergunta não precisa de derivação matemática: todas as suas fórmulas estão dizendo exatamente as mesmas coisas e relacionando-as umas com as outras é apenas uma questão de entender como funciona a notação matricial.

— whuber

@ whuber Entendo notação matricial e álgebra matricial, até certo ponto. Mas não sei como começar a partir da forma matricial e chegar às outras formas. Provavelmente eu não entendo algo sobre as matrizes X e Z, mas estava apenas esperando que alguém explicasse isso.

— Joe King

@whuber há algo que eu possa fazer para melhorar a pergunta, ou você está dizendo que é tão básico que não merece uma resposta?

— 21813 Joe King

@ JoeKing: Eu acho que ele está dizendo que a notação matricial é por definição equivalente à sua notação não matricial. Ou seja, você já possui

(matriz ixj vezes matriz jx1 produzindo matriz ix1

) que é

. (É possível rolar

pela inclusão de um 1 em

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Wayne

@Wayne ambos os modelos têm efeitos aleatórios e efeitos fixos. O primeiro tem uma interceptação aleatória, enquanto o segundo tem uma interceptação aleatória e uma inclinação aleatória. Se eu pudesse "descobrir" eu não estaria fazendo a pergunta aqui !!!!

— 22613 Joe King

Consideramos um modelo misto com inclinações aleatórias e interceptações aleatórias. Dado que temos apenas um regressor, esse modelo pode ser escrito como onde indica - ª observação do grupo da resposta, e e

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ o respectivo preditor e termo do erro.

Este modelo pode ser expresso em notação matricial da seguinte maneira:

que é equivalente a

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

Vamos assumir que temos grupos , ou seja, e vamos denotar o número de observações no ésimo grupo. Particionado para cada grupo, podemos escrever a fórmula acima como $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

onde é uma matriz contendo todas as observações da resposta para o grupo , e são matrizes de design nesse caso e é novamente uma matriz . $\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

Escrevendo-os, temos:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

Os vetores do coeficiente de regressão são então

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

To see that the two model formulations are indeed equivalent, let us look at any of the groups (let's say the $j$ -th one).

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

Applying above definitions, one can show that the $i$ -th row of the resulting vector is just

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$ where

i

$i$ ranges from

1

$1$ to

n_{j}

$n_j$ .

— Philipp Burckhardt
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+1, I would just point out that there are large computational advantages from implementing using

Z_{j}

$Z_j$ rather than the full

Z

$Z$ matrix. The

Z_{j}

$Z_j$ are basically a sparse matrix storage version of

Z

$Z$

— probabilityislogic