Viés para o estimador de densidade do kernel (caso periódico)

O estimador de densidade do kernel é dado por onde identificou com alguma densidade desconhecida , - largura de banda,

\hat{f} (x, h) = \frac{1}{n h} \sum_{i = 1}^{n} K (\frac{x - X_{i}}{h})

$\hat{f}(x,h)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K(\frac{x-X_{i}}{h})$

X_{1}, . . . X_{n}

$X_1,...X_n$

f

$f$

h

$h$

$K$ - função do kernel ( , , ). O viés pode ser calculado usando a expansão de Taylor: $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)dx=1$ $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)xdx=0$ $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)x^2dx<\infty$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{h} K (\frac{x - y}{h}) f (y) d y - f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} K (y) (f (x - h y) - f (x)) d y

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{h}K(\frac{x-y}{h})f(y)dy-f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f(x-hy)-f(x)\right)dy$

= \int_{- \infty}^{\infty} K (y) (f^{'} (x) h y + \frac{1}{2} f^{″} (x) (h y)^{2} + o (h^{2})) d y = \frac{1}{2} f^{″} (x) h^{2} + o (h^{2})

$=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f'(x)hy+\frac{1}{2}f''(x)(hy)^{2}+o(h^{2})\right)dy=\frac{1}{2}f''(x)h^{2}+o(h^{2})$

Como lidar com o kernel periódico $f$ ( $\int_{0}^{1}K(x)dx=1$ , $\int_{0}^{1}K(x)xdx=0$ , $\int_{0}^{1}K(x)x^2dx<\infty$ )?

Como posso usar a expansão taylor? ( $\int_{0}^{1}\frac{1}{h}K(\frac{y-x}{h})f(y)dy=\int_{-\frac{x}{h}}^{1-\frac{x}{h}}K(y)f(x-yh)dy\neq\int_{0}^{1}K(y)f(x-yh)dy$ -Não consigo usar propriedades do kernel)

Você poderia recomendar um bom livro sobre suavização de kernel para dados circulares?

kernel-smoothing

— Katja
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Um rápido google traz isso, o que indica que, ao trabalhar com dados circulares, você precisará de uma definição diferente de 'viés' para começar:

Entretanto, ao usar dados no círculo, não podemos usar a distância no espaço euclidiano, portanto todas as diferenças θ - θ _i devem ser substituídas considerando o ângulo entre dois vetores:

$d_i\theta)= \| \theta -\theta_i \| = \min(|\theta-\theta_i|, 2π -|\theta-\theta_i|).$

Charles C. Taylor. Seleção automática de largura de banda para estimativa de densidade circular. Estatística Computacional e Análise de Dados Volume 52, Edição 7, 15 de março de 2008, páginas 3493-3500. doi: 10.1016 / j.csda.2007.11.003

Ele faz referência a estes livros:

S. Rao Jammalamadaka e A. SenGupta, Tópicos em Estatística Circular , World Scientific, Singapura (2001).

KV Mardia e PE Jupp, Directional Statistics , John Wiley, Chichester (1999).

— uma parada
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