Posso converter uma matriz de covariância em incertezas para variáveis?

Eu tenho uma unidade GPS que gera uma medição de ruído via matriz de covariância $\Sigma$ :

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(há também envolvido, mas vamos ignorar isso por um segundo.) $t$

Suponha que eu queira dizer a outra pessoa que a precisão em cada direção ( ) é algum número. . Ou seja, meu GPS pode me dar uma leitura de , etc. Meu entendimento é que nesse caso implica que todos os mensurandos são independentes um do outro (ou seja, a matriz de covariância é diagonal). Além disso, encontrar o erro vetorial é tão simples quanto adicionar erros em quadratura (raiz quadrada da soma dos quadrados). $x,y,z$ $\mu_x, \mu_y, \mu_z$ $x=\bar{x}\pm\mu_x$ $\mu$

O que acontece se minha matriz de covariância não for diagonal? Existe um número simples que engloba os efeitos do e instruções? Como posso descobrir isso, dada uma matriz de covariância? $\mu_x^*$ $y$ $z$

covariance measurement-error uncertainty

— Dang Khoa
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O que você quer dizer com encontrar o erro vetorial adicionando erros em quadratura? Cada uma das suas direções é um erro em uma quantidade diferente - adicionar erros em quadratura é para quando você combina várias fontes de erro em uma quantidade. O que você considera o erro vetorial?

— Corone

Uma observação lateral - em várias regressões, as pessoas geralmente declaram o erro padrão dos coeficientes de regressão, mas na verdade as estimativas para os diferentes coeficientes são correlacionadas. É possível produzir elipsóides de confiança de 95% que representam a incerteza em múltiplas dimensões - muito análoga à situação que você está considerando.

— Silverfish

Não há um número único que inclua todas as informações de covariância - há 6 informações, portanto você sempre precisará de 6 números.

No entanto, há várias coisas que você poderia considerar fazer.

Em primeiro lugar, o erro (variação) em qualquer direção particular é dado por $i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Onde é o vetor de unidade na direção de interesse. $\mathbf{e}_i$

Agora, se você olhar para essas três coordenadas básicas , poderá ver o seguinte: $(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Portanto, o erro em cada uma das direções consideradas separadamente é dado pela diagonal da matriz de covariância. Isso faz sentido intuitivamente - se eu estiver considerando apenas uma direção, mudar apenas a correlação não deve fazer diferença.

Você está correto ao observar que simplesmente afirma:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Não implica nenhuma correlação entre essas três afirmações - cada afirmação sozinha está perfeitamente correta, mas reunidas algumas informações (correlação) foram descartadas.

Se você estiver fazendo muitas medições, cada uma com a mesma correlação de erro (supondo que isso venha do equipamento de medição), então uma possibilidade elegante é girar suas coordenadas para diagonalizar sua matriz de covariância. Em seguida, você pode apresentar erros em cada uma dessas direções separadamente, pois agora eles não serão correlacionados.

Quanto a tomar o "erro de vetor" adicionando em quadratura, não sei ao certo o que você está dizendo. Esses três erros são erros em quantidades diferentes - eles não se cancelam e, portanto, não vejo como você pode adicioná-los. Você quer dizer erro à distância?

— Corone
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Sim, quero dizer erro na distância total, desculpe por confusão.

— Dang Khoa

Mas a distância não é

d = x + y + z

$d = x + y + z$ (a menos que você realmente queira dizer a distância entre táxi e táxi?), os erros não serão adicionados em quadratura, serão? Se assumirmos a normalidade, então

d^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$ terá uma distribuição qui-quadrado não central em 3 graus de liberdade. Acho que a distribuição da distância começará a ficar confusa sem algumas aproximações simplificadoras.

— Corone

@ Corone, quando você diz "Em primeiro lugar, o erro em qualquer direção específica" Você está se referindo à variação ao dizer o erro?

— CroCo 24/02

@croco sim isso mesmo, uma vez que estamos começando com é covariância

— Corone