O que se entende por "nível" de uma série temporal?

Em boa parte da literatura que estou estudando, é um desses termos que ocorre com frequência e ainda sem uma definição rigorosa a ser encontrada. Especificamente, me disseram:

Para variáveis aleatórias indexadas no tempo (RVs) , o modelo de decomposição aditiva é dado como $\{X_t\}$

$X_{t} = l l (X_{t - 1}, X_{t - 2}, \dots) + f c (X_{t - 1}, X_{t - 2}, \dots, ε_{t}, ε_{t - 1}, \dots)$ $X_t = {ll}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) + {fc}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, \varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \ldots)$
Onde

é onível de longo prazo, que é um processo estocástico e pode ser visualizado como uma versão suavizada de , para não ser confundido comtendênciasque são padrões determinísticos $ll$ $\{X_t\}$

é ocomponente de flutuaçãoque representa mudanças nonível local, assumidasestacionáriase comnível médio zero $fc$

sãoinovaçõese são RVs com média zero de IID $\{\varepsilon_t\}$

Mas qual é a diferença de significado entre tendência versus nível de longo prazo vs. nível local vs. nível médio ?

Além disso, o componente de flutuação e as inovações não modelam a mesma coisa, qual é o ruído associado a cada observação? Então, por que complicar as coisas, incluindo os dois?

time-series definition

— mchen
fonte

Isso tem a ver com a ordem da integração . Um processo estocástico é dito para ser integrado de ordem , equivalentemente ~ , se ela estiver parada. Se ~ com , diz-se que o processo está integrado na ordem e é então não estacionário. A decomposição acima tenta filtrar os componentes estacionários (como componente de flutuação e inovações) e o componente de tendência estocástica não estacionária. UMA $X_t$ $0$ $X_t$ $I(0)$ $X_t$ $I(d)$ $d>0, d \in \mathbb{N}$ $d$ tendência estocástica é diferente de uma tendência determinística , e o uso da palavra tendência na passagem é desleixado.

Agora, isso faz tudo parecer mais complicado do que é. Vamos considerar um exemplo. Tome ~ como um processo de ruído branco e deixar ser . Defina o seguinte polinômio de atraso $\varepsilon_t$ $(0,\sigma^2)$ $\varepsilon_t$ $iid$

\begin{aligned} C_{1} (L) & = 0.5 L + 0.25 L^{2} - 0.75 L^{3} - 0.05 L^{4} \end{aligned}

$\begin{align} C_1(L) &= 0.5L + 0.25L^2 -0.75L^3 -0.05 L^4 \\ \end{align}$

O operador lag trabalha com variáveis aleatórias indexadas no tempo como . Suponha agora que é gerado como $L$ $L^k\varepsilon:=\varepsilon_{t-k}$ $X_t$

\begin{aligned} X_{t} = X_{t - 1} + C_{1} (L) ε_{t} + ε_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t = X_{t-1} + C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t \end{align}$

Em seguida, usando a terminologia de seu trecho, o nível de longo prazo seria definida por , o componente sazonal / flutuação por e as inovações por . Conforme descrito no trecho, o componente de flutuação e as inovações são estacionárias. $X_{t-1}$ $C_1(L)\varepsilon_t$ $\varepsilon_t$

A razão pela qual é chamada dessa maneira é um pouco difícil de ver sem fazer mais observações e se relaciona com a ordem de integração acima mencionada. Normalmente, não encontramos processos integrados de pedidos maiores que ou , portanto, vamos considerar o exemplo acima da ordem de integração . $1$ $2$ $1$

Primeiro, defina . é estacionário, de modo ~ . Agora podemos escrever $u_t := C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$ $u_t$ $u_t$ $I(0)$ isso nos diz que~, porque a sua primeira diferença é integrada de ordem. O significado disso pode ser difícil de entender, até que se perceba o querealmente significa. Isso significa que é possível reescrever

\begin{aligned} X_{t} & = X_{t - 1} + u_{t} ⟺ \\ X_{t} - X_{t - 1} & = (1 - L) X_{t} = Δ X_{t} = u_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t &= X_{t-1} + u_t \Longleftrightarrow\\ X_t - X_{t-1} &= (1-L)X_t = \Delta X_t = u_t \\ \end{align}$

X_{t}

$X_t$

I (1)

$I(1)$

0

$0$

Δ X_{t} = u_{t}

$\Delta X_t = u_t$

Isso pode não parecer dramático:

, depois de tudo! No entanto, a variação deste processonãoéfinita e explode para

. É por isso que dizemos que o termo define uma tendência estocástica: embora não seja determinístico (como, por exemplo, uma tendência linear),

só será estacionário depois de filtrarmos o componente não-estacionário e o subtrairmos de

\begin{aligned} X_{t} & = \sum_{i = 1}^{\infty} Δ X_{t} = \sum_{i = 1}^{\infty} u_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t &= \sum_{i=1}^{\infty} \Delta X_t = \sum_{i=1}^{\infty} u_t\\ \end{align}$

E (X_{t}) = 0

$\mathbb{E}(X_t) = 0$

\infty

$\infty$

X_{t}

$X_t$

X_{t}

$X_{t}$ . (Nesse caso, como observado anteriormente,

filtraria o componente não estacionário e seria estacionário.) Se você não fizer isso , seus procedimentos usuais de inferência estatística não funcionam mais, pois

irá convergir para um movimento browniano pelo princípio da invariância / Teorema do Limite Central Funcional. Esses resultados substituem os resultados CLR padrão para regressões automáticas, problemas de cointegração e assim por diante.

Δ X_{t} = X_{t} - X_{t - 1} = C_{1} (L) ε_{t} + ε_{t}

$\Delta X_t = X_t - X_{t-1}=C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$

X_{t}

$X_{t}$

— Jeremias K
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