Como devo lidar mentalmente com o paradoxo de Borel?

Sinto-me um pouco desconfortável com a maneira como lidei mentalmente com o paradoxo de Borel e outros "paradoxos" associados que lidam com probabilidade condicional. Para aqueles que estão lendo isso que não estão familiarizados com isso, consulte este link . Minha resposta mental até esse momento foi principalmente ignorá-la, porque ninguém parece falar sobre isso, mas acho que devo corrigir isso.

Sabemos que esse paradoxo existe e, no entanto, parece que na prática (como exemplo extremo, análise bayesiana) estamos perfeitamente bem condicionando eventos de medida ; se são meus dados, condicionamos o tempo todo, mesmo que este seja um evento de medida quando é contínuo. E certamente não fazemos nenhum esforço para construir uma sequência de eventos convergentes para o evento que observamos para resolver o paradoxo, pelo menos não explicitamente. $0$ $X$ $X = x$ $0$ $X$

Acho que está tudo bem, porque fixamos essencialmente a variável aleatória (em princípio) antes do experimento e, portanto, estamos condicionando . Ou seja, é o álgebra natural para condicionar porque a informação está sendo usada através de - se tivesse chegado a nós de alguma outra maneira, condicionaríamos um álgebra diferente . O paradoxo de Borel surge porque (eu acho) não é óbvio em que a álgebra apropriada deve ser condicionada, mas o bayesiano especificou $X$ $\sigma(X)$ $\sigma(X)$ $\sigma$ $X = x$ $X$ $\sigma$ $\sigma$ . Como estamos especificando a priori que a informação chegou até nóspor meio da medição de , estamos em claro. Depois de especificarmos a álgebra, está tudo bem; construímos nossa expectativa condicional usando Radon-Nikodym e tudo é um conjunto exclusivo de conjuntos nulos. $\sigma(X)$ $X = x$ $X$ $\sigma$

Isso é essencialmente certo ou estou longe? Se estou longe, qual é a justificativa para se comportar como nós? [Dada a natureza das perguntas e respostas deste site, considere isso como minha pergunta.] Quando tomei minha probabilidade teórica da medida, por alguma razão que não entendo, nunca tocamos nas expectativas condicionais. Como resultado, estou preocupado que minhas idéias estejam muito confusas.

probability conditional-probability conditional-expectation

— cara
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Quando tomei minha probabilidade teórica da medida, nós, por algum motivo que não entendo, nunca tocamos na expectativa condicional. Uau. Estou interessado neste pequeno trecho. Que texto você usou? Como você fez um curso com esse nome e nunca olhou para martingales, cadeias de Markov ou vários outros tópicos "padrão"?

— cardeal

Eu acho que o "quadro geral" por trás dessa resposta fornece pelo menos uma resposta parcial às perguntas atuais. :)

— cardeal

@ cardinal Não usamos um livro didático, usamos as notas dos instrutores. O instrutor passou toda a sua carreira de pesquisador, comprovando leis de grande número para o espaço de Banach, que valorizavam elementos aleatórios, e aparentemente não precisava disso. Como resultado, ele não os ensinou. Aprendemos os tópicos que ele considerou importantes para o seu trabalho. O outro professor que ensinou probabilidade usou Billingsley e não era tão míope. Peguei o que sei lendo Billingsley no meu tempo.

— cara

Obrigado por me entregar e (+1) à sua pergunta. A propósito, Billingsley é um texto de referência maravilhoso, mas deve ter sido um pouco frustrante como teste de classe e escolha de auto-estudo, se não por outro motivo que não a organização. Você pode estar interessado na Probabilidade de D. Williams com Martingales, se você quiser um companheiro curto que dê uma ênfase decididamente grande à expectativa condicional. Felicidades. :-)

— cardeal

Como bayesiano, eu diria que o paradoxo de Borel não tem nada (ou muito pouco) a ver com estatísticas bayesianas. Exceto que as estatísticas bayesianas usam distribuições condicionais, é claro. O fato de não haver paradoxo na definição de uma distribuição posterior como condicional em um conjunto de medidas zero é que não é escolhido antecipadamente, mas como resultado da observação. Assim, se queremos usar definições exóticas para as distribuições condicionais em conjuntos de medidas zero, há zero chance de que esses conjuntos contenham $\{X=x\}$ $x$ $x$ que iremos observar no final. A distribuição condicional é definida de maneira única em quase todos os lugares e, portanto, quase certamente deu errado à nossa observação. Este também é o significado da (grande) citação de A. Kolmogorov na entrada da Wikipedia.

Um ponto na análise bayesiana em que as sutilezas da teoria da medida podem se transformar em paradoxo é a representação de Savage-Dickey do fator Bayes, pois depende de uma versão específica da densidade anterior (conforme discutido em nosso artigo sobre o tópico ...)

— Xi'an
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