A raiz quadrada de uma matriz semi-definida positiva é um resultado único?

Estou tentando decompor uma série temporal de $n$ observações $\bf{\mathrm{v_c}}$ na estrutura $n \times n$ variância-covariância $\sum$ e uma série aleatória $\bf{\mathrm{v}}$ .

Portanto, posso derivar a matriz de variância-covariância $\sum$ da função de autocorrelação de $\bf{\mathrm{v_c}}$ . Esta será uma matriz de Toeplitz, que é semidefinida positiva. Portanto, sou capaz de calcular uma matriz adequada $\sum^{-\frac{1}{2}}$ para transformar minhas séries correlatas em um sinal aleatório.

$\bf{\mathrm{v}} = \sum^{-\frac{1}{2}}\bf{\mathrm{v_c}}$

Eu sou capaz de fazer isso usando a função sqrt (m) no MATLAB, mas também posso encontrar uma fatoração de Cholesky da matriz de variância-covariância e usá-la para induzir as correlações. No entanto, obtenho resultados diferentes (mas um pouco semelhantes) para as séries aleatórias usando os métodos sqrtm e Cholesky.

Eu li vários textos para determinar como determinar a raiz quadrada de várias matrizes e observei os métodos de decomposição de autovalores e assim por diante. Vejo que existem apenas soluções únicas sob certas condições prescritas - mas presumo que essas soluções exclusivas ainda sejam apenas uma das muitas raízes?

Minha pergunta é a seguinte: existe alguma maneira de argumentar que uma raiz quadrada específica é preferível a outra. Caso contrário, existe uma maneira de extrair todas as soluções possíveis, de modo que todas as funções aleatórias possíveis possam ser obtidas?

Deixe uma matriz ter "raízes quadradas" A e B ; isso é,$\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

Por uma questão de simplicidade, suponha que a matriz original seja invertível (o que equivale a ser definido positivamente sob as premissas). Então , e suas transposições também devem ser invertíveis porqueA $\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

exibe um inverso à esquerda para , implicando que é invertível; o mesmo argumento se aplica a , é claro. Exploramos esses inversos para escreverA $\mathbb{A}^\intercal$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

mostrando que é uma matriz ortogonal : ou seja, . O conjunto de tais matrizes forma duas variedades reais suaves de dimensão quando é por . Geometricamente, matrizes ortogonais correspondem a rotações ou a uma reflexão seguida de rotações, dependendo do sinal de seu determinante.O O ⊺ = I n ( n - 1 ) / 2 V n $\mathbb{O=B^{-1}A}$$\mathbb{OO^\intercal=I}$$n(n-1)/2$$\mathbb{V}$$n$$n$

Por outro lado, quando é uma raiz quadrada de , cálculos semelhantes (mas mais fáceis) mostram que também é uma raiz quadrada de qualquer matriz ortogonal e Não importa aqui se é invertível ou não.V A O O $\mathbb{A}$$\mathbb{V}$$\mathbb{AO}$$\mathbb{O}$$\mathbb{A}$

Também é fácil ver que a multiplicação por uma matriz ortogonal (diferente de ) realmente altera a raiz quadrada de uma matriz invertível. Afinal, implica imediatamente . Isso mostra que as raízes quadradas das matrizes definidas positivas podem ser colocadas em uma correspondência individual com as matrizes ortogonais.A O = A O = A - 1 A = $\mathbb{I}$$\mathbb{AO = A}$$\mathbb{O = A^{-1}A = I}$

Isso demonstra que as raízes quadradas das matrizes positivas definidas são determinadas apenas até a multiplicação por matrizes ortogonais. Para o caso semi-definido, a situação é mais complicada, mas, no mínimo, a multiplicação por uma matriz ortogonal preserva a propriedade de ser uma raiz quadrada.

Se você deseja aplicar critérios adicionais à sua raiz quadrada, poderá identificar um único ou, pelo menos, restringir a ambiguidade: isso dependerá de suas preferências particulares.