Se você usou retornos de log, cometeu um erro levemente tendencioso, mas se usou o valor futuro dividido pelo valor presente, sua probabilidade está errada. Na verdade, sua probabilidade está errada em ambos os casos. É errado o suficiente para importar.
Considere que uma estatística é qualquer função dos dados. Retornos não são dados, são transformações de dados. Eles são um valor futuro dividido por um valor presente. Os preços são dados. Os preços devem ter uma função de distribuição, mas a função de distribuição para devoluções deve depender apenas da natureza dos preços.
ptpt + 1
pt + 1pt- 1
1πσσ2+ ( y- β1x1- β2x2⋯ - βnxn- α )2.
O OLS força o melhor ajuste aos dados observados, mesmo que seja a solução errada. Os métodos bayesianos tentam encontrar a função de geração de dados através da probabilidade. Você tinha a probabilidade errada, por isso não foi possível encontrá-la.
Tenho um artigo sobre isso se precisar de informações adicionais.
EDIT
Eu acho que você entendeu errado. Se você converter a probabilidade em uma função de densidade e atender à expectativa, descobrirá que ela não possui nenhuma. Como prova de Augustin Cauchy em 1852 ou talvez 1851, qualquer forma de solução de mínimos quadrados é perfeitamente imprecisa. Sempre falhará. Não é que você deva usar regressão padrão porque o Bayesiano é sensível à probabilidade; é que Bayes é a única solução disponível admissível, com algumas exceções especiais para alguns casos especiais incomuns.
Ao fazer os testes empíricos sobre isso, e antes de ler o suficiente da matemática, pensei ingenuamente que a solução bayesiana e a freqüentista deveriam corresponder. Existe, aproximadamente, um teorema que diz que quando a amostra se tornar grande o suficiente, os dois convergirão. Eu usei todos os negócios do final do dia no universo do CRSP de 1925-2013 para testá-lo. Não é isso que o teorema diz. Eu estava entendendo mal as regras.
Eu também tentei o problema nos logs e ele ainda não correspondia. Então, percebi algo, todas as distribuições são formas e, então, construí uma solução geométrica para determinar qual solução estava correta. Eu o tratei como um problema de geometria pura para determinar qual resposta algébrica correspondia aos dados.
O bayesiano combinava. Isso me levou a um caminho muito matemático, porque eu não conseguia descobrir por que o estimador imparcial estava tão errado. Apenas para constar, usando retornos desagregados no período 1925-2013 e removendo empresas de fachada, fundos fechados e assim por diante, a discrepância entre o centro da localização é de 2% e a medida de risco é subestimada em 4% para retornos anuais . Essa discrepância ocorre na transformação de log, mas por um motivo diferente. Pode ser diferente para índices ou subconjuntos individuais dos dados.
O motivo da discrepância é duplo. A primeira é que as distribuições envolvidas não possuem uma estatística suficiente. Para certos tipos de problemas, isso não importa. Para propósitos projetivos, como previsão ou alocação, eles importam bastante. A segunda razão é que o estimador imparcial é sempre uma versão da média, mas a distribuição não tem média.
A densidade acima não é um membro da família exponencial, como é a distribuição normal ou gama. Pelo teorema de Pitman – Koopman – Darmois, não existe estatística de ponto suficiente para os parâmetros. Isso implica que qualquer tentativa de criar um estimador de pontos deve descartar informações. Isso não é um problema para soluções bayesianas porque a posterior é uma densidade inteira e, se você precisar de uma estimativa pontual, poderá encontrar a densidade preditiva e minimizar uma função de custo sobre ela para reduzi-la a um único ponto. A probabilidade bayesiana é sempre minimamente suficiente.
O estimador imparcial de variância mínima para a função acima é manter os 24,6% centrais dos dados, encontrar sua média aparada e descartar o restante dos dados. Isso significa que mais de 75% dos dados são descartados e as informações são perdidas. Apenas uma observação, pode ser 24,8%, pois estou trabalhando de memória. Você pode encontrar o artigo de Rothenberg em:
Rothenberg, TJ e FM Fisher e CB Tilanus, uma nota sobre estimativa de uma amostra de Cauchy, Jornal da Associação Estatística Americana, 1964, vol 59 (306), pp. 460-463
A segunda questão foi surpreendente para mim. Até eu trabalhar na geometria, não sabia qual era a causa. Os retornos são limitados na parte inferior em -100%. Isso muda a mediana em 2% e o intervalo interquartil é deslocado em 4%, embora a meia massa ainda esteja nos mesmos pontos. A meia massa é a medida adequada de escala, mas a meia largura não é. Se não houvesse truncamento, a meia largura e a meia massa estariam nos mesmos pontos. Da mesma forma, a mediana e o modo permaneceriam no mesmo ponto. A mediana é o retorno para o ator médio ou pelo menos para o comércio médio. Como tal, é sempre o local do MVUE e a média do log.
O entendimento correto do teorema é que todos os estimadores bayesianos são estimadores admissíveis. Estimadores freqüentistas são estimadores admissíveis se uma das duas condições for obtida. A primeira é que, em todas as amostras, a solução freqüentista e a bayesiana são idênticas. A segunda é que, se a solução limitadora do método bayesiano correspondeu à solução freqüentista, a solução freqüentista é admissível.
Todos os estimadores admissíveis convergem para a mesma solução quando o tamanho da amostra é grande o suficiente. O estimador freqüentista presume que seu modelo é o modelo verdadeiro e os dados são aleatórios. O bayesiano assume que os dados são verdadeiros, mas o modelo é aleatório. Se você tinha uma quantidade infinita de dados, o modelo subjetivo deve convergir para a realidade. Se você tivesse uma quantidade infinita de dados, mas o modelo errado, o modelo Frequentist convergirá para a realidade com probabilidade zero.
Nesse caso, a solução bayesiana, sob antecedentes razoáveis, sempre dominará estocisticamente qualquer estimador freqüentista por causa do truncamento e da perda de informações para criar o estimador.
Nos logs, a função de probabilidade é a distribuição secante hiperbólica. Tem uma variação finita, mas nenhuma covariância. A matriz de covariância encontrada usando OLS é um artefato dos dados e não aponta para um parâmetro que existe nos dados subjacentes. Como na forma bruta, nada no formulário de log cobre, mas também nada é independente. Em vez disso, existe um relacionamento muito mais complexo que viola a definição de covariância, mas na qual eles podem se recuperar.
Markowitz e Usman quase o encontraram em seu trabalho sobre distribuições, mas a distribuição secante hiperbólica não está em uma família Pearson e eles interpretaram mal os dados ao não perceber que quando você altera uma distribuição de dados brutos para dados de log, também altera suas propriedades estatísticas . Eles basicamente descobriram isso, mas não perceberam porque não tinham motivos para procurá-lo e não perceberam as conseqüências não intencionais do uso de logs.
Não tenho Markowitz e Usman comigo onde estou, mas eles fizeram um dos poucos trabalhos muito bons em estimar a distribuição que existe por aí.
De qualquer forma, eu não uso JAGS. Eu não tenho idéia de como fazê-lo. Eu codifico todo o meu trabalho do MCMC manualmente.
Tenho um artigo muito mais completo e preciso sobre este tópico em:
Harris, DE (2017) A distribuição de retornos. Jornal de Finanças Matemáticas, 7, 769-804.
Ele fornecerá a você um método para construir distribuições para qualquer classe de ativo ou passivo, também índices contábeis.
Eu era prolixo, mas pude ver que você estava entendendo mal o relacionamento entre Bayes e os métodos de Pearson-Neyman. Você os inverteu. Bayes sempre funciona, mas você está preso a uma densidade anterior que perturbará sua solução. Com um prévio adequado, você garante um estimador tendencioso e, para esse tipo de função de probabilidade, acredito que você deve usar um prévio adequado para garantir a integrabilidade à unidade. Os métodos freqüentistas são rápidos e geralmente funcionam. Eles são imparciais, mas podem não ser válidos.