Explicação do fator de correção finito

Entendo que, quando a amostragem de uma população finita e o tamanho da nossa amostra é superior a 5% da população, é necessário corrigir a média e o erro padrão da amostra usando esta fórmula:

$\hspace{10mm} FPC=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Onde é o tamanho da população e é o tamanho da amostra.$N$$n$

Tenho 3 perguntas sobre esta fórmula:

1. Por que o limite é definido em 5%?
2. Como a fórmula foi derivada?
3. Existem outros recursos online que explicam exaustivamente essa fórmula além deste artigo?

O limite é escolhido de forma a garantir a convergência da distribuição hipergeométrica ( é o seu SD), em vez de uma distribuição binomial (para amostragem com substituição), para uma distribuição normal ( este é o Teorema do Limite Central, veja, por exemplo, A Curva Normal, o Teorema do Limite Central e as Desigualdades para Variáveis ​​Aleatórias de Markov e Chebychev . Em outras palavras, quando n / N ≤ 0,05 (ou seja, n não é 'muito grande' em comparação com N ), o CPF pode ser ignorado com segurança; é fácil ver como o fator de correção evolui com n variando para um N fixo : com N$\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$n/N\leq 0.05$$n$$N$$n$$N$ , temos FPC = 0,9995 , quando n = 10 , enquanto FPC = 0,3162 quando n = 9 , 000 . Quando N → ∞ , o CPF se aproxima de 1 e estamos próximos da situação de amostragem com substituição (isto é, com uma população infinita).$N=10,000$$\text{FPC}=.9995$$n=10$$\text{FPC}=.3162$$n=9,000$$N\to\infty$

Para entender esses resultados, um bom ponto de partida é ler alguns tutoriais on-line sobre a teoria da amostragem, onde a amostragem é feita sem substituição ( amostragem aleatória simples ). Este tutorial on-line sobre estatística não paramétrica tem uma ilustração sobre como calcular a expectativa e a variação de um total.

Você notará que alguns autores usam vez de N - 1 no denominador do CPF; de fato, depende se você trabalha com a amostra ou estatística de população: para a variação, será N em vez de N - 1 se você estiver interessado em S 2 em vez de σ 2 .$N$$N-1$$N$$N-1$$S^2$$\sigma^2$

Quanto às referências on-line, posso sugerir que você

• Estimação e inferência estatística
• Um novo olhar sobre a inferência para a Distribuição Hipergeométrica
• Amostragem de população finita com aplicação à distribuição hipergeométrica
• Amostragem aleatória simples