Trabalho de casa: Análise Bayesiana de Dados: Priores em ambos os parâmetros binomiais

O seguinte é um problema de Bayesian Data Analysis 2nd ed , p. 97. Andrew Gelman não incluiu sua solução no guia em seu site e isso me deixou louco o dia todo. Literalmente o dia todo.

$y$$N$$\theta$$N$$\Pr(N|\mu) = Poisson(\mu)$$\mu$$(N, \theta)$$\lambda=\mu\theta$$N$$p(\lambda, \theta) \varpropto 1/\lambda$ .

A parte do problema em que estou desligado é como transformar as variáveis ​​e determinar $p(N, \theta)$ .

A abordagem que tentei é escrever $p(N,\theta|\lambda)p(\lambda, \theta)$ e eliminar o \ lambda indesejado $\lambda$pela integração, ou seja, $p(N,\theta)=\int_0^\infty C\mu^N/(exp(\mu)\lambda N!)d\lambda$ e substituindo $\mu$ pela relação $\mu=\lambda/\theta$ . Essa abordagem se reduz a $p(N,\theta)=C/(N+1)$ , onde $C$ é a constante de proporcionalidade introduzida em (3).

Esse resultado me preocupa, porque implica que a probabilidade conjunta de alguns valores de $\theta$ e $N$ depende apenas de $N$ e não de $\theta$ . Além disso, alguns sinos vagos estão tocando no meu decrépito cálculo multivariável, tentando me lembrar sobre jacobianos e coordenar transformações, mas não tenho certeza de que essa abordagem de integração seja apropriada.

Agradeço sua ajuda e discernimento.

Fiz todas as perguntas dos quatro primeiros capítulos, seis anos atrás. Aqui está o que eu tenho:

$p(\mu,\theta)\propto\left|\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\right|p(\lambda,\theta)=\mu^{-1}.$

assim

$\begin{array}{lrl}p\left(N,\theta\right) & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,N,\theta\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,\theta\right)\Pr\left(N\,|\,\mu\right)\mathrm{d}\mu\\ & \propto & \int_{0}^{\infty}\mu^{-1}\left(\frac{\mu^{N}}{N!}e^{-\mu}\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \frac{\left(N-1\right)!}{N!}=N^{-1}\end{array}$

Você não precisa se preocupar que não dependa de . Isso significa apenas que o anterior para é uniforme em , o que é legal para um parâmetro de Bernoulli.$p(N,\theta)$$\theta$$\theta$$[0,1]$