O PDF de uma distribuição Normal é
fμ , σ( x ) = 12 π--√σe- ( x - μ )22 σ2dx
mas em termos de éτ= 1 / σ2
gμ , τ( x ) = τ--√2 π--√e- τ( x - μ )22dx .
O PDF de uma distribuição Gamma é
hα , β( τ) = 1Γ ( α )e- τβτ- 1 + αβ- αdτ.
Seu produto, ligeiramente simplificado com álgebra fácil, é, portanto,
fμ , α , β( x , τ) = 1βαΓ ( α ) 2 π--√e- τ( ( x - μ )22+ 1β)τ- 1 / 2 + αdτdx .
Sua parte interna evidentemente tem a forma , tornando-a uma função Gamma múltipla quando integrada em toda a faixa τ = 0 a τ = ∞ . Essa integral, portanto, é imediata (obtida por saber que a integral de uma distribuição Gamma é unidade), fornecendo a distribuição marginalexp( - constante1× τ) × τconstante2dττ= 0τ= ∞
fμ , α , β( x ) = β--√Γ ( α + 12)2 π--√Γ ( α )1( β2( x - μ )2+ 1 )α + 12.
Tentar corresponder ao padrão fornecido para a distribuição mostra que há um erro na pergunta: o PDF da distribuição t de Student é na verdade proporcional at
1k--√s⎛⎝⎜⎜11 + k- 1( x - ls)2⎞⎠⎟⎟k + 12
(a potência de é 2 , não 1 ). Combinando os termos indica k = 2 α , l = μ , e s = 1 / √( x - l ) / s21k = 2 αl = μ .s = 1 / α β---√
Observe que nenhum cálculo era necessário para essa derivação: tudo era uma questão de procurar as fórmulas dos PDFs Normal e Gama, realizando algumas manipulações algébricas triviais envolvendo produtos e potências e padrões correspondentes em expressões algébricas (nessa ordem).