Estudante t como mistura de gaussiana


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Usando a distribuição t do aluno com graus de liberdade, o parâmetro de localização le os parâmetros de escala s têm densidadek>0ls

Γ(k+12)Γ(k2kπs2){1+k1(xls)}(k+1)/2,

Como mostram que o estudante -distribuição pode ser escrito como uma mistura de distribuições de Gauss, permitindo que X ~ N ( μ , σ 2 ) , τ = 1 / σ 2 ~ Γ ( α , β ) , e integrando a densidade conjunta f ( x , τ | μ ) para obter a densidade marginal f ( x | μ ) ? Quais são os parâmetros do resultado ttXN(μ,σ2)τ=1/σ2Γ(α,β)f(x,τ|μ)f(x|μ)t-distribuição, como funções de ?μ,α,β

Perdi-me no cálculo integrando a densidade condicional conjunta com a distribuição gama.

Respostas:


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O PDF de uma distribuição Normal é

fμ,σ(x)=12πσe(xμ)22σ2dx

mas em termos de éτ=1/σ2

gμ,τ(x)=τ2πeτ(xμ)22dx.

O PDF de uma distribuição Gamma é

hα,β(τ)=1Γ(α)eτβτ1+αβαdτ.

Seu produto, ligeiramente simplificado com álgebra fácil, é, portanto,

fμ,α,β(x,τ)=1βαΓ(α)2πeτ((xμ)22+1β)τ1/2+αdτdx.

Sua parte interna evidentemente tem a forma , tornando-a uma função Gamma múltipla quando integrada em toda a faixa τ = 0 a τ = . Essa integral, portanto, é imediata (obtida por saber que a integral de uma distribuição Gamma é unidade), fornecendo a distribuição marginalexp(constant1×τ)×τconstant2dττ=0τ=

fμ,α,β(x)=βΓ(α+12)2πΓ(α)1(β2(xμ)2+1)α+12.

Tentar corresponder ao padrão fornecido para a distribuição mostra que há um erro na pergunta: o PDF da distribuição t de Student é na verdade proporcional at

1ks(11+k1(xls)2)k+12

(a potência de é 2 , não 1 ). Combinando os termos indica k = 2 α , l = μ , e s = 1 / (xl)/s21k=2αl=μ .s=1/αβ


Observe que nenhum cálculo era necessário para essa derivação: tudo era uma questão de procurar as fórmulas dos PDFs Normal e Gama, realizando algumas manipulações algébricas triviais envolvendo produtos e potências e padrões correspondentes em expressões algébricas (nessa ordem).


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Inspirado por esta resposta, fiz uma animação da distribuição t como uma mistura de distribuições normais. Ele está disponível aqui: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals
Rasmus Baath

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@whuber: Tecnicamente, para esse tipo de correspondência, sempre há um uso implícito de cálculo em seu reconhecimento de que você pode integrar a densidade gama usando sua forma integral conhecida. (Este é o equivalente estatístico de esconder o brócolis, misturando-o com a carne e as batatas.) Uma maneira inteligente de esconder o cálculo!
Reintegrar Monica

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tkYYXt(k)XYΦYIG(k/2,k/2)Φ


0

0

1/τX=Y
τYττ1/τX
τΓ(α,β)β2Γ(α,2)β2χ2(2α)
YX1(β/2)χ2(2α)
=Xαβχ2α2/(2α)
k=2αs=1/αβμl

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