Expectativa de produto de variáveis ​​aleatórias gaussianas


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Digamos que temos dois vetores aleatórios gaussianos p(x1)=N(0,Σ1),p(x2)=N(0,Σ2) , existe um resultado bem conhecido para a expectativa de seu produto E[x1x2T] sem assumir independência?


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@ asd123 1) ao escrever Σ , sugere que x1 e x2 são vetores; nesse caso, o produto x1x2 não é definido como escrito (a menos que n=1 ). Você quer dizer x1Tx2 ? Se não, o que você quer dizer? 2) Sem independência, não é necessariamente verdade que (x1,x2) é conjuntamente normal; portanto, parece que você precisaria de mais informações sobre a distribuição conjunta (e / ou matriz de variância / covariância) antes de poder dizer algo definitivo. .

Sim, eu quis dizer que x1 e x2 são vetores. Eu também sei que eles são conjuntamente gaussianos. Isso ajuda?

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@ asd123 em parte, sim, porque então x1 e x2 serão independentes se, e somente se eles não estão correlacionados (olhar para a variância / covariância matriz de xT=(x1T,x2T) . Se o off-diagonal as matrizes de bloco são zero e não correlacionadas). Se eles são independentes, basta escrever o produto escalar acima, obter os valores esperados e tudo estará pronto. Se eles não são independentes, você sabe alguma coisa sobre as entradas de bloco fora da diagonal?

A propósito, se o que foi dito acima é realmente o que você quer dizer, eu recomendo que você mude o título para "Expectativa de produto escalar de vetores aleatórios gaussianos".

Desculpe, pretendia transpor a outra variável. Então o resultado é uma matriz. Ou seja, Mx1) x (1xM) = (MxM)

Respostas:


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Sim, há um resultado conhecido. Com base na sua edição, podemos nos concentrar primeiro nas entradas individuais da matriz . Essa entrada é o produto de duas variáveis ​​de média zero e variâncias finitas, por exemplo, σ 2 1 e σ 2 2 . A desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que o valor absoluto da expectativa do produto não pode exceder | σ 1 σ 2 | . De fato, todo valor no intervalo [ - | σ 1 σ 2 | ,E[x1x2T]σ12σ22|σ1σ2| é possível porque surge para alguma distribuição binormal. Portanto, o i , j de entrada de E [ x 1 x T 2 ] tem de ser inferior ou igual a[|σ1σ2|,|σ1σ2|]i,jE[x1x2T] em valor absoluto.Σ1i,iΣ2j,j

Se agora assumimos que todas as variáveis ​​são normais e que é multinormal, haverá mais restrições porque a matriz de covariância de ( x 1 ; x 2 ) deve ser semidefinida positiva. Em vez de enfatizar o ponto, vou ilustrar. Suponha que x 1 tenha dois componentes x e y e que x 2 tenha um componente z . Seja x e y tenham variação e correlação unitárias ρ (especificando assim(x1;x2)(x1;x2)x1xyx2zxyρ ) e suponha que z tenha variação de unidade ( Σ 2 ). Seja a expectativa de x z seja α e a de y z seja β . Nós estabelecemos que | α | 1 e | beta | 1 . No entanto, nem todas as combinações são possíveis: no mínimo, odeterminante da matriz de covariância de ( x 1 ; x 2 ) não pode ser negativo. Isso impõe a condição não trivialΣ1zΣ2xzαyzβ|α|1|β|1(x1;x2)

1-α2-β2+2αβρ-ρ20

Para qualquer é uma elipse (junto com seu interior) inscrita no quadrado α , β [ - 1 , 1 ] × [ - 1 , 1 ] .-1<ρ<1α,β[-1,1]×[-1,1]

Para obter restrições adicionais, são necessárias suposições adicionais sobre as variáveis.

Gráfico da região admissível (ρ,α,β)

texto alternativo


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Não há resultados fortes e isso não depende da gaussianidade. No caso em que e x 2 são escalares, você está perguntando se o conhecimento da variação das variáveis ​​implica em algo sobre sua covariância. a resposta do whuber está certa. A desigualdade de Cauchy-Schwarz e a semidefinitividade positiva restringem os valores possíveis. x1x2

O exemplo mais simples é que a covariância ao quadrado de um par de variáveis ​​nunca pode exceder o produto de suas variações. Para matrizes de covariância, existe uma generalização.

Considere a matriz de covariância particionada em bloco de , [ Σ 11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ] .[x1 x2]

[Σ11Σ12Σ21Σ22].

Em seguida, para todos os q-Schatten normas . A (semi) definição positiva da matriz de covariância também fornece a restrição de que Σ 11 - Σ 12 Σ - 1 22 Σ 21 deve ser positiva (semi) definida. Σ - 1 22 é o inverso (Moore-Penrose) de Σ 22 .

__Σ12__q2__Σ11__q__Σ22__q
Σ11-Σ12Σ22-1Σ21
Σ22-1Σ22

0

suponha que seja normal bivariado com média zero e correlação ρ . então(X,Y)ρ

.EXY=cov(X,Y)=ρσXσY

todas as entradas na matriz são da forma X Y .x1x2TXY


... e então, é claro, concluímos . Isso ilustra a resposta fornecida por @vqv. @ronaf: por que você não votou na resposta do @ vqv então? |ρ|1
whuber

x1x2Σ12Σ12
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