Bons recursos (online ou livro) sobre os fundamentos matemáticos das estatísticas

Antes de fazer minha pergunta, deixe-me apresentar um pouco do que sei sobre estatísticas, para que você tenha uma noção melhor dos tipos de recursos que estou procurando.

Sou estudante de psicologia e, como tal, uso estatísticas quase todos os dias. Até agora, estou familiarizado com uma ampla variedade de técnicas, principalmente porque elas são implementadas na estrutura geral de modelagem de equações estruturais. No entanto, meu treinamento foi no uso dessas técnicas e na interpretação dos resultados - não tenho muito conhecimento dos fundamentos matemáticos formais dessas técnicas.

No entanto, cada vez mais, eu tive que ler artigos das estatísticas adequadamente. Descobri que esses trabalhos geralmente assumem um conhecimento prático de conceitos matemáticos dos quais eu não conheço muito, como álgebra linear. Portanto, fiquei convencido de que, se eu quiser fazer mais do que usar cegamente as ferramentas que me foram ensinadas, seria útil aprender algumas das bases matemáticas da estatística.

Então, eu tenho duas perguntas relacionadas:

1. Que técnicas matemáticas seriam úteis para eu saber se quero aprimorar os fundamentos matemáticos da estatística? Encontrei álgebra linear com bastante frequência e tenho certeza de que aprender sobre teoria das probabilidades seria útil, mas existem outras áreas da matemática que seriam úteis para eu aprender?
2. Quais recursos (online ou em forma de livro) você pode me recomendar como alguém que deseja saber mais sobre os fundamentos matemáticos da estatística?

Matemáticas:

Grinstead & Snell, Introdução à Probabilidade (é grátis)

Strang, Introdução à Álgebra Linear

Strang, Calculus

Confira também Strang no MIT OpenCourseWare.

Teoria estatística (é mais do que apenas matemática):

Cox, Princípios de Inferência Estatística

Cox & Hinkley, Estatística Teórica

Geisser, Modos de Inferência Estatística Paramétrica

E eu segundo @ Casella & Berger de Andre.

Alguns tópicos importantes de estatística matemática são:

• Família exponencial e suficiência.
• Construção estimadora.
• Testando hipóteses.

Referências sobre estatística matemática:

• Mood, AM, Graybill, FA, & Boes, DC (1974). Introdução à teoria da estatística. (BC Harrinson & M. Eichberg, Eds.) (3ª ed., P. 564). McGraw-Hill, Inc. Empresas

• Casella, G. & Berger, RL (2002). Inferência estatística. (C. Crockett, Ed.) (2ª ed., P. 657). Pacific Grove, CA: Grupo Wadsworth, Thomson Learning Inc.

Dê uma olhada no Bootcamp de Bioestatística Matemática no Coursera https://www.coursera.org/#course/biostats .

O MEV está (na minha opinião) muito distante da teoria tradicional das probabilidades e de algumas técnicas estatísticas básicas que se estendem facilmente (como estimativa de pontos, teoria de grandes amostras e estatística bayesiana). Eu acho que o SEM é o resultado de muita abstração de tais métodos. Além disso, penso que a razão pela qual tais abstrações eram necessárias foi por causa da grande demanda para entender melhor a inferência causal .

Eu acho que um livro que seria perfeito para alguém de sua formação seria a causalidade da Judea Pearl . Este livro aborda especificamente o SEM e as estatísticas multivariadas, desenvolve uma teoria de causalidade e inferência e é muito filosoficamente correto. Não é um livro de matemática, mas baseia-se fortemente na lógica e no contrafactual e desenvolve uma linguagem muito precisa para defender os modelos estatísticos.

Posso dizer, de um fundo matemático, que esses resultados são muito sólidos e não exigem uma compreensão abrangente do cálculo. Eu também acho que é irreal para alguém do seu pedigree acompanhar a matemática necessária quando você já é um estudante de graduação, é por isso que existem estatísticos!