Existem limites na correlação de Spearman de uma soma de duas variáveis?

Dados vetores modo que o coeficiente de correlação de Spearman de e seja , existem limites conhecidos no coeficiente de Spearman de com , em termos de (e , presumivelmente)? Ou seja, é possível encontrar funções (não triviais) forma que $n$ $x, y_1, y_2$ $x$ $y_i$ $\rho_i = \rho(x,y_i)$ $x$ $y_1 + y_2$ $\rho_i$ $n$ $l(\rho_1,\rho_2,n), u(\rho_1,\rho_2,n)$

l (ρ_{1}, ρ_{2}, n) \leq ρ (x, y_{1} + y_{2}) \leq u (ρ_{1}, ρ_{2}, n)

$l(\rho_1,\rho_2,n) \le \rho(x,y_1+y_2) \le u(\rho_1,\rho_2,n)$

edit : por exemplo do @ whuber no comentário, parece que, no caso geral, somente os limites triviais podem ser feitos. Assim, eu gostaria de impor ainda mais a restrição: $l = -1, u = 1$

$y_1, y_2$ são permutações dos números inteiros . $1 \ldots n$

correlation spearman-rho bounds

— shabbychef
fonte

Somente sabendo , o intervalo que contém deve incluir e : para cada poderia ter valores muito pequenos (apesar de ter qualquer ordem de classificação) e, assim, simplesmente "tremer" os valores em quando adicionados a . Portanto, a ordem de classificação de não seria afetada. Não sei se o intervalo pode exceder o .

ρ_{1}, ρ_{2}

$\rho_{1}, \rho_{2}$

ρ (x, y_{1} + y_{2})

$\rho(x, y_{1} + y_{2})$

ρ_{1}

$\rho_{1}$

ρ_{2}

$\rho_{2}$

y_{1}, y_{2}

$y_{1}, y_{2}$

y_{1}

$y_{1}$

y_{1}

$y_{1}$

y_{1}

$y_{1}$

ρ_{i}

$\rho_{i}$

— Caracal

@caracal Boas observações. O intervalo definitivamente pode ser maior que o : basta considerar o caso em que ambas as correlações são zero. A correlação com a soma pode ser facilmente diferente de zero - pode variar de -1 a 1. Por exemplo, x = (1,2,3,4,5); y1 = (3, -10,2,10,1); y2 = (-8,9, -2, -9,4); y1 + y2 = (-5, -1,0,1,5) tem mas .

ρ_{i}

$\rho_i$

ρ_{1} = ρ_{2} = 0

$\rho_1=\rho_2=0$

ρ = 1

$\rho=1$

— whuber

@ Whuber: isso parece implicar apenas limites triviais existem (ou seja, ). Talvez eu tenha que jogar outra restrição ao problema.

l = - 1, u = 1

$l = -1, u = 1$

— precisa

@shabbychef Não, você postou um bom problema: não é trivial. No caso , por exemplo, a única possibilidade é . Eu suspeito que os limites não sejam triviais, exceto quando ; eles devem ficar mais restritos conforme e aproximam .

ρ_{1} = ρ_{2} = 1

$\rho_1 = \rho_2 = 1$

ρ = 1

$\rho = 1$

ρ_{1} = ρ_{2} = 0

$\rho_1 = \rho_2 = 0$

ρ_{1}

$\rho_1$

ρ_{2}

$\rho_2$

\pm 1

$\pm 1$

— whuber

Aqui está outro caso patológico. Suponha que e . Então , mas e . Pode ser esclarecedor pensar em uma versão mais simples e probabilística do problema. Sejam , e variáveis aleatórias, cada uma com distribuições marginalmente uniformes. Agora seja o CDF de . O que podemos dizer sobre base em e ?

x = y_{1}

$x = y_1$

y_{1} = - y_{2}

$y_1 = -y_2$

ρ (x, y_{1} + y_{2}) = 0

$\rho(x, y_1 + y_2) = 0$

ρ_{1} = 1

$\rho_1 = 1$

ρ_{2} = - 1

$\rho_2 = −1$

X

$X$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

G

$G$

Y_{1} + Y_{2}

$Y_1 + Y_2$

C o v (X, G (Y_{1} + Y_{2}))

$Cov(X, G(Y_1 + Y_2))$

C o v (X, Y_{1})

$Cov(X,Y_1)$

C o v (X, Y_{2})

$Cov(X,Y_2)$

— vqv

A correlação de classificação de Spearman é apenas a correlação produto-momento de Pearson entre as fileiras das variáveis. A restrição extra de Shabbychef significa que e são os mesmos de suas fileiras e que não há vínculos; portanto, eles têm desvio padrão igual (por exemplo). Se também substituirmos x por suas fileiras, o problema se tornará o problema equivalente para a correlação produto-momento de Pearson. Por definição da correlação produto-momento de Pearson, $y_1$ $y_2$ $\sigma_y$

\begin{aligned} ρ (x, y_{1} + y_{2}) & = \frac{Cov (x, y_{1} + y_{2})}{σ_{x} \sqrt{Var (y_{1} + y_{2})}} \\ = \frac{Cov (x, y_{1}) + Cov (x, y_{2})}{σ_{x} \sqrt{Var (y_{1}) + Var (y_{2}) + 2 Cov (y_{1}, y_{2})}} \\ = \frac{ρ_{1} σ_{x} σ_{y} + ρ_{2} σ_{x} σ_{y}}{σ_{x} \sqrt{2 σ_{y}^{2} + 2 σ_{y}^{2} ρ (y_{1}, y_{2})}} \\ = \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{\sqrt{2} {(1 + ρ (y_{1}, y_{2}))}^{1 / 2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho(x,y_1+y_2) &= \frac{\operatorname{Cov}(x,y_1+y_2)} {\sigma_x \sqrt{\operatorname{Var}(y_1+y_2)}} \\ &= \frac{\operatorname{Cov}(x,y_1) + \operatorname{Cov}(x,y_2)} {\sigma_x \sqrt{\operatorname{Var}(y_1)+\operatorname{Var}(y_2) + 2\operatorname{Cov}(y_1,y_2)}} \\ &= \frac{\rho_1\sigma_x\sigma_y + \rho_2\sigma_x\sigma_y} {\sigma_x \sqrt{2\sigma_y^2 + 2\sigma_y^2\rho(y_1,y_2)}} \\ &= \frac{\rho_1 + \rho_2} {\sqrt{2}\left(1+\rho(y_1,y_2)\right)^{1/2}}. \\ \end{align}$ Para qualquer conjunto de três variáveis, se conhecermos duas de suas três correlações, podemos colocar limites na terceira correlação (veja, por exemplo, Vos 2009 , ou a partir da fórmula para correlação parcial ):

ρ_{1} ρ_{2} - \sqrt{1 - ρ_{1}^{2}} \sqrt{1 - ρ_{2}^{2}} \leq ρ (y_{1}, y_{2}) \leq ρ_{1} ρ_{2} + \sqrt{1 - ρ_{1}^{2}} \sqrt{1 - ρ_{2}^{2}}

$\rho_1\rho_2 - \sqrt{1-\rho_1^2}\sqrt{1-\rho_2^2} \leq \rho(y_1,y_2) \leq \rho_1\rho_2 + \sqrt{1-\rho_1^2}\sqrt{1-\rho_2^2}$ Portanto, se ; se você precisa mudar os limites.

\frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{\sqrt{2} {(1 + ρ_{1} ρ_{2} + \sqrt{1 - ρ_{1}^{2}} \sqrt{1 - ρ_{2}^{2}})}^{1 / 2}} \leq ρ (x, y_{1} + y_{2}) \leq \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{\sqrt{2} {(1 + ρ_{1} ρ_{2} - \sqrt{1 - ρ_{1}^{2}} \sqrt{1 - ρ_{2}^{2}})}^{1 / 2}}

$\frac{\rho_1 + \rho_2} {\sqrt{2}\left(1+\rho_1\rho_2 + \sqrt{1-\rho_1^2}\sqrt{1-\rho_2^2}\right)^{1/2}} \leq \rho(x,y_1+y_2) \leq \frac{\rho_1 + \rho_2} {\sqrt{2}\left(1+\rho_1\rho_2 - \sqrt{1-\rho_1^2}\sqrt{1-\rho_2^2}\right)^{1/2}}$

ρ_{1} + ρ_{2} \geq 0

$\rho_1 + \rho_2 \geq 0$

ρ_{1} + ρ_{2} \leq 0

$\rho_1 + \rho_2 \le 0$

— uma parada
fonte

Mas o verdadeiro problema é que as fileiras não aumentam. Veja meu comentário para a pergunta.

— vqv

@vqv, mas se e são permutações dos números inteiros então eles são exatamente iguais às suas fileiras.

y_{1}

$y_1$

y_{2}

$y_2$

1 \dots n

$1\ldots n$

— onestop

metade da soma das permutações não precisa ser uma permutação; Mas isso é muito próximo, e responde a pergunta para Pearson, acredito.

— shabbychef

Os valores classificados de são em geral uma função não linear de - mesmo que e sejam cada uma uma permutação dos números inteiros . Aqui está um exemplo: e . Então e . Plote na e verá que não há relação linear entre os dois. A afirmação acima de que é geralmente falsa , mesmo sob a suposição de que

y_{1} + y_{2}

$y_1 + y_2$

y_{1} + y_{2}

$y_1 + y_2$

y_{1}

$y_1$

y_{2}

$y_2$

1, \dots, n

$1,\ldots,n$

y_{1} = (1, 2, 3, 4)

$y_1 = (1,2,3,4)$

y_{2} = (2, 3, 1, 4)

$y_2 = (2,3,1,4)$

y_{1} + y_{2} = (3, 5, 4, 8)

$y_1+y_2 = (3,5,4,8)$

r a n k (y_{1} + y_{2}) = (1, 3, 2, 4)

$rank(y_1+y_2) = (1,3,2,4)$

y_{1} + y_{2}

$y_1+y_2$

r a n k (y_{1} + y_{2})

$rank(y_1+y_2)$

ρ (x, y_{1} + y_{2}) = C o v (x, y_{1} + y_{2}) / \dots

$\rho(x,y_1+y_2) = Cov(x,y_1+y_2) / \cdots$

y_{1}

$y_1$ e são permutações dos números inteiros.

y_{2}

$y_2$

— vqv

@vqv Você está certo. Eu estava muito apressado para tentar uma resposta antes de sair para o feriado de Natal. Eu não havia encontrado essa desigualdade relacionada à correlação de Pearson de três variáveis antes. Aqui está outra referência completa com visualizações em 3D: jstor.org/stable/2684832 . Ainda acho que isso pode ter alguma relevância, então não vou excluir minha resposta, embora também não consiga ver como corrigi-la.

— onestop