Número esperado de duplicatas (triplicatas, etc.) ao desenhar com substituição

Eu tenho o seguinte problema:

Tenho 100 itens exclusivos (n) e estou selecionando 43 (m) deles um de cada vez (com substituição).

Eu preciso resolver o número esperado de únicos (selecionado apenas uma vez, k = 1), duplos (selecionado exatamente duas vezes k = 2), tripples (exatamente k = 3), quads etc ...

Consegui encontrar muitos resultados sobre a probabilidade de haver pelo menos um duplo (paradoxo do aniversário), mas não sobre o número esperado de pares na população.

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K
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Uma estimativa de Monte Carlo seria útil para você ou precisa da resposta de forma fechada?

— David J. Harris

Eu preferiria uma fórmula de formulário fechado para que eu possa aplicá-la facilmente a diferentes valores de n, mek.

— precisa

O iterm será selecionado vezes. A partir disso, você pode encontrar todas as quantidades desejadas, porque, por exemplo, Por exemplo, o número esperado de pares é dado por $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Você pode obter o valor numérico em R com o comando n * dbinom (k, m, 1 / n).

— Stefan Wager
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Essa fórmula pode ser usada para ak = 0 ou 1?

— precisa

Sim pode. Com k = 0, você pode interpretá-lo como `` quantos pontos não aparecerão entre os m selecionados ''.

— Stefan Wager

Mas esses eventos não são independentes. Por exemplo, quando o item 1 aparece m vezes, nenhum outro item pode aparecer. Você não pode simplesmente somar os P's.

— Asterix314